Погрешности. Лекция 1

1. Численные методы математики

Лекция 1 Погрешности

2. Литература

1. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М.
Численные методы. М.: Наука, 2003. 631с.
2. Бахвалов Н.С., Лапин А.В., Чижонков Е.В.
Численные методы в задачах и упражнениях.
М.: Высшая школа, 2000. 190с.
3. Волков Е.А. Численные методы. М.: Наука,
1987. 248с.
4. Пантина И.В., Синчуков А.В. Вычислительная
математика. М. 2012. 176с.
5. Шевченко А.С. Численные методы. Барнаул, 2016.
– 388 с.

3. Тема 1. Основы численных методов

§ 1. Погрешность. Виды погрешностей
Исследование
различных
явлений
или
процессов
математическими методами осуществляется с помощью
математической модели.
Математическая модель - формализованное
исследуемого объекта на языке математики.
описание
Например, через систему линейных, нелинейных или
дифференциальных
уравнений,
систему
неравенств,
определенный интеграл, многочлен с неизвестными
коэффициентами и т.д.

4.

Схема решения технической задачи
Техническая задача →
Математическая модель →
Вычислительный метод →
Алгоритм →
Программа →
Выполнение программы →
Техническая задача.
Под вычислительными (численными) методами
подразумеваются
приближенные
процедуры,
позволяющие получать решение в виде конкретных
числовых значений.

5.

В результате численного решения неизбежно возникают
погрешности.
Под погрешностями понимают отклонение или
расхождение между приближенными и точными
числовыми значениями.
Причины погрешности:
1. Погрешность математической модели (возникает при
идеализации реального процесса в виде допущений) δмм.
2. Погрешность численного метода (при замене
математической задачи более простой) δчм.
3. Погрешности исходных данных (в результате измерения
величин) δид.
4. Погрешности округления δокр.

6.

ГРУППЫ ПОГРЕШНОСТЕЙ
Неустранимые: неточное описание
неточное задание исходных данных
реальных
объектов,
Погрешность метода: применение приближенных методов
вычислений
Остаточная
погрешность:
бесконечных процессов
конечная
аппроксимация
Вычислительная погрешность: погрешность округления

7.

Полная погрешность является суммой всех
погрешностей и не превышает суммы модулей
входящих в нее погрешностей.
δполная= δмм+ δчм+ δид+ δокр
Оценка по норме:
||δполная||<||δмм||+||δчм||+||δид||+||δокр||
Свойство погрешностей: при вычислениях
они накапливаются, порождая новые
погрешности

8.

9. Абсолютная и относительная погрешности. Формы записи данных

Определение. Истинной абсолютной погрешностью
приближенного значения называют модуль разности
точного и приближенного значений. Обозначается
где а точное значение некоторой величины и
a известное приближение к нему.
Пример. а=1/3, а*=0,3333333.
Тогда

10.

В действительности в большинстве случаев точное
значение величины неизвестно, а значит, нельзя
найти истинную абсолютную погрешность.
Поэтому вводят другую величину, являющуюся
некоторой оценкой (верхней границей) для

11.

Определение. Число,
которое не превосходит
абсолютная погрешность
т.е.
, называют предельной
абсолютной погрешностью (абсолютной погрешностью)
приближенного числа а*.
Желательно найти как можно меньшую верхнюю
границу.
По свойству модуля имеем
или сокращенно
Данное выражение определяет границы, в которых
находится неизвестное число а.

12.

Абсолютная погрешность часто плохо дает представление о
точности измерений или вычислений (имеет размерность).
Например, если известно, что абсолютная погрешность равна
1 см, то неизвестно, грубая это оценка или нет. Так как
неизвестно, что измеряли, длину кита или жука.
Поэтому вводят безразмерную величину - относительную
погрешность.

13.

Определение.
Истинной относительной погрешностью
приближенного значения а* называют некоторую величину
, определенную отношением истинной абсолютной
погрешности числа а* к модулю самого числа а*:
Пример. а=1/3, а*=0,333, то
0,0001=0,01%.
(Относительную погрешность часто выражают в процентах.)

14.

Если неизвестно точное значение числа, то формула не
применима. Поэтому вводится
Определение. Предельная относительная погрешность
– возможно меньшее число которое не
превосходит истинная относительная погрешность
т.е.
Тогда

15. Пример

Сравним качество измерений толщины h человеческого
волоса (в мм) и расстояние от Земли до Луны (в км),
если известно, что h 0,15 0,005, l 380000 500.
Найдем относительные погрешности:
0,005
500
*
h
0,04 4%, l
0,002 0,2%.
0,15
380000
*
Следовательно, качество измерения расстояния от
Земли до Луны лучше.

16.

Степень точности приближенного числа
характеризуется числом его верных значащих цифр.
Определение. Значащими цифрами числа называют
все цифры в его записи, отличные от нуля и нуль, если
он стоит между значащими цифрами или есть
сохраненный десятичный знак.
Пример.
В теории погрешностей нельзя откидывать значащие
нули.

17.

Число
Примеры
Значащие цифры
2067000
все цифры значащие
2,0670 107
2, 0, 6, 7, 0 – значащие
2,06700
2, 0, 6, 7 - значащие

18.

Представим число в виде
a am10m am 110m 1
an10m n 1
m – степень 10 для старшего разряда числа а
Определение. Значащую цифру числа а* называют верной в
узком смысле, если абсолютная погрешность
этого числа
не превосходит половины единицы s-го разряда (разряда номера s),
следующего за этой цифрой т.е.
s m n 1
Определение. Значащую цифру числа а* называют верной в
широком смысле, если абсолютная погрешность
этого
числа не превосходит единицы s-го разряда (разряда номера s),
следующего за этой цифрой т.е. a* 1 10m n 1

19.

Решение. Оценим по определению верных цифр абсолютную
погрешность:
Таким образом, последняя верная цифра имеет разряд -4. Это 1.
Следующую за ней по разряду 8 будем называть сомнительной
цифрой.
Аналогично,
Значит, 1 будет значимой и в широком смысле тоже.

20.

21.

Если указано, что все значащие цифры числа а
верные, то предельная абсолютная погрешность
равна половине единицы младшего разряда – s в его
позиционной форме записи.
1
*
s
a
10
.
Т.О. абсолютная погрешность равна
2

22.

Предельная относительная погрешность
Если am – старшая значащая цифра, то
Тогда
a am10m am 110m 1
a*
a*
a
*
• Подставив сюда формулу
получим оценку
as10s a* am10m
a*
am 10
m
1
a 10s ,
2
*
1
a
n 1
2am 10
*
.

23.

Пример. Вычислить абсолютную и относительную
погрешности числа 3,1415; если все цифры в записи
верные.
*
a
1
*
s
a 10
a*
2
am 10m
Замечание: Если число а записано без
погрешностей, то полагают, что все его значащие
цифры верные.

24.

Правила округления
Для округления числа до n значащих цифр, остальные
отбрасывают, или заменяют нулями для сохранения
разрядов. При этом, если первая отбрасываемая
цифра
- больше 5, то предыдущую увеличивают на 1.
- равна 5 и после нее есть отличные от нуля цифры,
то предыдущую увеличивают на 1.
- равна 5 и после нее только нули, то четную
предыдущую цифру оставляют неизменной, а
нечетную – увеличивают на 1.
- меньше 5, оставшиеся цифры не меняют.

25.

Для округления и записи абсолютной и относительной
погрешностей пользуются следующими правилами:
- погрешность всегда округляют в большую сторону;
- погрешность записывают с двумя значащими
цифрами.
При округлении приближенного числа а* абсолютная
погрешность ∆(ã) округленного числа ã складывается
из абсолютной погрешности ∆(а*) исходного числа а*
и погрешности округления ∆окр = | а* − ã |, т.е.
∆(ã) = ∆(а*) + ∆окр.

26.

• При соблюдении этих правил, абсолютная
погрешность округления не превосходит
половины единицы разряда,
определяемого последней оставленной
значащей цифрой.

27.

Пример. Округлить число а* = 72,457 при ∆(а*)=0,0036,
оставив только верные цифры. Определить полную
абсолютную погрешность.
Проверим, какие цифры являются верными:
1
a 0,0036 0,005 10 2
2 *
a 72,45
Оставляем 2 цифры после запятой:
*
a a* окр
a 0,0036 0,007 0,0106 0,011

28. § 2. Погрешности арифметических действий

1) Погрешность суммы (разности) чисел
а, b − точное значение;
а*, b* − приближенное значение;
Пусть
Абсолютная погрешность:

29.

Относительная погрешность:
u*
a*
b*
u
u
*
a
*
*
*
*
*
b
,
где
u
a
b
*

30. Замечание

a b
a b
a b
При вычитании близких чисел погрешность
сильно возрастает.
Поэтому данной ситуации следует избегать,
заменяя выражение эквивалентным (с помощью его
преобразования)

31.

32.

2) Погрешность произведения чисел
Пусть
Абсолютная погрешность:
∆и(u*) = |u − u*| = |ab − a*b* ± a*b| =
= |b(a − a*) + a*(b − b*)| ≤
≤ |b| ∆(a*) + |a*| ∆(b*) ≤
*
*
b b b
[т.к. ∆(b*) = |b − b*| ≥ |b| − |b*|, то
]
≤(|b*| + ∆(b*)) ∆(a*) + |a*| ∆(b*) =
= |b*| ∆(a*) + |a*| ∆(b*) + ∆(b*) ∆(a*).

33.

Относительная погрешность:

34.

3) Погрешность деления чисел
Пусть
Абсолютная погрешность:
∆и(u*) = |u − u*| =
\используем неравенство

35.

Относительная погрешность:
*
a
* 1
1
*
*
u * a * a *
b
b
b
1 b*
1
*
*
b
1
b
1 1
b *
b b
*
b b*
b
b

36.

Упрощение и обобщение формул вычисления
погрешностей арифметических действий
1.
2.
3.

37.

Пример. Вычислить
при
Результат округлить с сохранением верных знаков.
*2
1
a
2,35 5,5225 5,523
2
a1*2a*2 5,523 1,23 6,79329 6,794
*2
4
a
2,3 5,29
2
a3 a4*2 4,3 5,29 9,59
6,794
x
0,708446 0,7084
9,59

38.

0,03
0,008
0,0128 a2
0,0065 a12a2 0,0321 0,032
2,35
1,23
0,04
2
a4 2
0,0348 a4 2 a4 2 a4 2 2,32 0,0348 0,1841
2,3
a1
a3 a4 2 0,1841
a3 a4 2 a3 a4 2 / a3 a4 2 0,1841 / 9,59 0,0192
x 0,032 0,0192 0,0512
x x x 0,7084 0,0512 0,0363
x 0,0363 0,5 10 1
Оставляем один верный знак
x 0,7 0,03