Методы приближенных вычислений. Лекция 1

1. Методы приближенных вычислений

Лекция 1

2. Литература

1. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные
методы. М.: Наука, 2003. 631с.
2. Бахвалов Н.С., Лапин А.В., Чижонков Е.В. Численные
методы в задачах и упражнениях.
М.: Высшая школа, 2000. 190с.
3. Волков Е.А. Численные методы. М.: Наука,
1987. 248с.
4. Зенков А.В. Численные методы. – Екатеринбург. Изд-во
УрГУ, 2016. – 124 с.
5. Пантина И.В., Синчуков А.В. Вычислительная математика.
М. 2012. 176с.
6. Шевченко А.С. Численные методы. Барнаул, 2016. – 388 с.

3. Тема 1. Основы численных методов

§ 1. Погрешность. Виды погрешностей
Исследование
различных
явлений
или
процессов
математическими методами осуществляется с помощью
математической модели.
Математическая модель - формализованное
исследуемого объекта на языке математики.
описание
Например, через систему линейных, нелинейных или
дифференциальных
уравнений,
систему
неравенств,
определенный интеграл, многочлен с неизвестными
коэффициентами и т.д.

4.

Схема решения технической задачи
Техническая задача →
Математическая модель →
Вычислительный метод →
Алгоритм →
Программа →
Выполнение программы →
Техническая задача.
Под вычислительными (численными) методами
подразумеваются
приближенные
процедуры,
позволяющие получать решение в виде конкретных
числовых значений.

5.

В результате численного решения неизбежно возникают
погрешности.
Под погрешностями понимают отклонение или
расхождение между приближенными и точными
числовыми значениями.
Причины погрешности:
1. Погрешность математической модели (возникает при
идеализации реального процесса в виде допущений) δмм.
2. Погрешности исходных данных (в результате измерения
величин) δид.
3. Погрешность численного метода (при замене
математической задачи более простой) δчм.
4. Погрешности округления δокр.

6.

ГРУППЫ ПОГРЕШНОСТЕЙ
Неустранимые: неточное описание реальных
неточное задание исходных данных (группы 1-2).
На остальные погрешности мы можем влиять.
объектов,
Погрешность метода: применение приближенных методов
вычислений
Остаточная
погрешность:
бесконечных процессов
конечная
аппроксимация
Вычислительная погрешность: погрешность округления

7.

Полная погрешность является суммой всех
погрешностей и не превышает суммы модулей
входящих в нее погрешностей.
δполная= δмм+ δчм+ δид+ δокр
Оценка по норме:
||δполная||<||δмм||+||δчм||+||δид||+||δокр||
Свойство погрешностей: при вычислениях
они накапливаются, порождая новые
погрешности

8. Абсолютная и относительная погрешности. Формы записи данных

Определение. Истинной абсолютной погрешностью
приближенного значения называют модуль разности
точного и приближенного значений. Обозначается
где а точное значение некоторой величины и
a известное приближение к нему.
Пример. а=1/3, а*=0,3333333.
Тогда

9.

В действительности в большинстве случаев точное
значение величины неизвестно, а значит, нельзя
найти истинную абсолютную погрешность.
Поэтому вводят другую величину, являющуюся
некоторой оценкой (верхней границей) для

10.

Определение. Число,
которое не превосходит
абсолютная погрешность
т.е.
, называют предельной
абсолютной погрешностью (абсолютной погрешностью)
приближенного числа а*.
Желательно найти как можно меньшую верхнюю
границу.
По свойству модуля имеем
или сокращенно
Данное выражение определяет границы, в которых
находится неизвестное число а.

11.

Абсолютная погрешность часто плохо дает представление о
точности измерений или вычислений (имеет размерность).
Например, если известно, что абсолютная погрешность равна
1 см, то неизвестно, грубая это оценка или нет. Так как
неизвестно, что измеряли, длину кита или жука.
Поэтому вводят безразмерную величину - относительную
погрешность.

12.

Определение.
Истинной относительной погрешностью
приближенного значения а* называют некоторую величину
, определенную отношением истинной абсолютной
погрешности числа а* к модулю самого числа а*:
Пример. а=1/3, а*=0,333, то
0,0001=0,01%.
(Относительную погрешность часто выражают в процентах.)

13.

Если неизвестно точное значение числа, то формула не
применима. Поэтому вводится
Определение. Предельная относительная погрешность
– возможно меньшее число которое не
превосходит истинная относительная погрешность
т.е.
Тогда

14. Пример

Сравним качество измерений толщины h человеческого
волоса (в мм) и расстояние от Земли до Луны (в км),
если известно, что h 0,15 0,005, l 380000 500.
Найдем относительные погрешности:
0,005
500
*
h
0,04 4%, l
0,002 0,2%.
0,15
380000
*
Следовательно, качество измерения расстояния от
Земли до Луны лучше.

15.

Степень точности приближенного числа
характеризуется числом его верных и значащих
цифр.
Определение. Значащими цифрами числа называют
все цифры в его десятичной записи, кроме нулей,
стоящих левее первой отличной от нуля цифры.
Пример.
В теории погрешностей нельзя откидывать значащие
нули.

16.

Представим число в виде
a a110m a210m 1
an10m n 1
m – степень 10 для старшего разряда числа а
Определение. Значащую цифру числа а* называют верной в
узком смысле, если абсолютная погрешность
этого числа
не превосходит половины единицы s-го разряда (разряда номера s),
соответствующего этой цифре т.е.
s m n 1
Определение. Значащую цифру числа а* называют верной в
широком смысле, если абсолютная погрешность
этого
числа не превосходит единицы s-го разряда (разряда номера s),
соответствующего этой цифре :
a* 1 10m n 1

17.

Примеры
Определить верные (в узком и широком смысле) и
значащие цифры числа a 0,04318
с абсолютной
погрешностью 0,6 10 4.
a
Решение. По определению верных цифр
a 0,6 10 4 0,5 10 3 ,
a 0,6 10 4 1 10 4.
Таким образом,
4, 3 – верные в узком смысле значащие цифры
4, 3, 1 – верные в широком смысле значащие цифры

18.

Примеры
Даны приближенные числа
a 8,6, b 8,60, c 3200, d 3,2 10 .
3
Найти абсолютные погрешности.
Решение. По определению верных цифр в широком
смысле
a 0,1, b 0,01
c 1, d 0,1 10 100.
3
Таким образом, a, b и c, d – равны в «обычном»
математическом смысле, но различны с точки зрения
вычислительной математики.
Числа b и c точнее.

19.

Если указано, что все значащие цифры числа а
верные, то предельная абсолютная погрешность
равна
1) половине единицы младшего разряда – s в его
позиционной форме записи в узком смысле,
1
*
s
т.е. абсолютная погрешность равна a 10 ,
2
2) единице младшего разряда – s в его позиционной
форме записи в широком смысле,
*
s
a
1
10
.
т.е. абсолютная погрешность равна

20.

Числа в форме с плавающей запятой
Это форма представления действительных чисел, в
которой число хранится в виде мантиссы и порядка
(показателя степени).
D m q m 10
p
p
m- мантисса числа
p- порядок
q=10 для десятичной дроби– порядок СС (может быть
2, 8, 16 и т.д.)
1
m 1
Нормализованная форма мантиссы:
q
123,456 1,23456 10 2
0,123456 10 3

21.

Примеры
Дано приближенное число
a 0,0794, 2%.
Абсолютная погрешность равна .
a 0,0794 0,02 0,001588 1 10 2.
По определению верных цифр в широком смысле
после запятой нужно оставить 2 знака.
В нормализованном виде
1
a 0,8 10 .
Для записи приближенных чисел с верными цифрами
применяется округление.

22.

Правила округления
Для округления числа до n значащих цифр, остальные
отбрасывают, или заменяют нулями для сохранения
разрядов. При этом, если первая отбрасываемая
цифра
- больше 5, то предыдущую увеличивают на 1 (П1).
- равна 5 и после нее есть отличные от нуля цифры,
то предыдущую увеличивают на 1 (П2).
- равна 5 и после нее только нули, то четную
предыдущую цифру оставляют неизменной, а
нечетную – увеличивают на 1 (П3).
- меньше 5, оставшиеся цифры не меняют (П4).

23.

Примеры
Округлить числа.
1) До 1 и 2-х знаков после запятой, a 53,471.
a 53,5
a 53,47
2) До 2 –х b 3,47500001.
b 3,48. (правило П2)
3) До сотых:
с 3,4750000, d 3,4850000.
с 3,48, d 3,48.

24.

Для округления и записи абсолютной и относительной
погрешностей пользуются следующими правилами:
- погрешность всегда округляют в большую сторону;
- погрешность записывают с двумя значащими
цифрами.
При округлении приближенного числа а* абсолютная
погрешность ∆(ã) округленного числа ã складывается
из абсолютной погрешности ∆(а*) исходного числа а*
и погрешности округления ∆окр = | а* − ã |, т.е.
∆(ã) = ∆(а*) + ∆окр.

25.

• При соблюдении этих правил, абсолютная
погрешность округления не превосходит
половины единицы разряда,
определяемого последней оставленной
значащей цифрой.

26.

Пример. Округлить число а* = 72,457 при ∆(а*)=0,0036,
оставив только верные цифры. Определить полную
абсолютную погрешность.
Проверим, какие цифры являются верными в УС:
1
a 0,0036 0,005 10 2
2 *
a 72,46
Оставляем 2 цифры после запятой:
*
полная a a* окр
полная a 0,0036 0,003 0,0066

27.

Правила
• Абсолютную или относительную погрешность
принято записывать в виде числа, содержащего
одну или две значащие цифры. При этом
округление производится с избытком.
• Если приближенное число записывается без
указания его абсолютной (предельной
абсолютной) погрешности, то выписываются
только его верные цифры.