Векторы и операции над ними. ЕГЭ по математике

1.

2.

Справочный материал
Координаты вектора
А х1; у1
В х2 ; у2
у2
АВ х2 х1; у2 у1
А
а а1; а2
а а а
2
1
В
2
2
х1
у1
х2

3.

Справочный материал
Сложение векторов
а а1; а2
b b1; b2
а b а1 b1; а2 b2
Свойства :
Сумма векторов – вектор.
1) а 0 а
2) а b b а
3) а b c а b c

4.

Справочный материал
Вычитание векторов
а а1; а2 b b1; b2
а b а1 b1; а2 b2
а b a b
Разность векторов – вектор.

5.

Справочный материал
Скалярное произведение векторов
Скалярное произведение векторов – число.
Скалярным произведением двух векторов
называется произведение их длин на косинус угла
между ними.
а а1; а2 b b1; b2
a b = a b cos(a b )
Для вычисления скалярного произведения
векторов существуют разные формулы.
Формула вычисления скалярного
произведения векторов через координаты
векторов не содержит косинуса угла.

6.

Справочный материал
b
a
a b = 900
a
0
a b = a b cos 900 = 0
b
Если векторы
и
перпендикулярны, то
скалярное произведение векторов равно нулю.
Обратно: если
a b = 0 , то векторы a и b перпендикулярны.
Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю
тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.
a b =0
a ^b

7.

Справочный материал
a b < 900
>0
a b = a b cos a > 0
b
a
Скалярное произведение ненулевых векторов
положительно тогда и только тогда , когда угол между
векторами острый.
a b > 0 a b < 900

8.

Справочный материал
a b > 900
<0
a b = a b cos a < 0
b
a
Скалярное произведение ненулевых векторов
отрицательно тогда и только тогда , когда угол между
векторами тупой.
a b < 0 a b > 900

9.

Справочный материал
Если
b
a
b
a b = 00
1
a b = a b cos 00 = a b
a
b
a
Если
a
b
a b = 1800
-1
a b = a b cos1800 = – a b

10.

Справочный материал
a
a a = 00
1
a a = a a cos 00 = a a = a 2
a a называется
скалярным квадратом вектора a и обозначается a 2
Скалярное произведение
Таким образом,
скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.
a2 = a 2

11.

№ 22
№ 23
№ 24
Вектор
с концом в точке B(5; 3) имеет координаты (3; 1).
Найдите абсциссу точки А.
Вектор
с концом в точке B(5; 3) имеет координаты (3; 1).
Найдите ординату точки А.
Вектор
с концом в точке B(5; 4) имеет координаты (3; 1).
Найдите сумму координат точки А.

12.

№ 25
№ 26
Найдите сумму координат вектора
Найдите квадрат длины вектора
.
.
№ 27 Найдите сумму координат вектора
.
№ 28
Найдите квадрат длины вектора
№ 29
Найдите скалярное произведение векторов
.
и

13.

№ 30
Найдите угол между векторами
и
. Ответ дайте в градусах.
α

14.

№ 31
Найдите сумму координат вектора
№ 32 Найдите квадрат длины вектора
№ 33 Найдите сумму координат вектора
.
№ 34 Найдите квадрат длины вектора
№ 35 Найдите скалярное произведение векторов
№ 36 Найдите угол между векторами
и
и
. Ответ дайте в градусах.

15.

№ 37
Найдите длину диагонали прямоугольника, вершины которого
имеют координаты (2; 1), (2; 4), (6; 1), (6; 4).
(2; 4)
(6; 4)
?
(2; 1)
(6; 1)

16.

№ 38
На координатной плоскости изображены векторы
. Вектор
разложен по двум неколлинеарным векторам
и :
, где k и l — коэффициенты разложения. Найдите k.

17.

№ 39
На координатной плоскости изображены векторы
скалярное произведение
и
. Найдите

18.

№ 40
№ 41
Даны векторы
вектора
Найдите длину

19.

№ 42
На координатной плоскости изображены векторы
Найдите длину вектора
.
.

20.

№ 43
Даны векторы
произведение
Найдите скалярное