Сумма бесконечной геометрической прогрессии при |q| < 1

1. Сумма бесконечной геометрической прогрессии при |q| < 1

Сумма бесконечной
геометрической прогрессии
при |q| < 1
1

2. " Прогрессия " – латинское слово, означающее "движение вперед", введено римским автором Боэцием (VIв) и понималось в более

" Прогрессия " – латинское слово,
означающее "движение вперед",
введено римским автором Боэцием (VIв) и
понималось в более широком смысле, как
бесконечная числовая последовательность
2

3. Что мы знаем о прогрессиях?

Мы выучили:
• определение, формулу п- ого
члена, суммы п - первых членов
арифметической и геометрической
прогрессий
3

4.

Арифметическая
прогрессия
Геометрическая
прогрессия
(bn) – геометрическая
(an ) – арифметическая
прогрессия
прогрессия
an+1=an+d
d - разность арифметической
прогрессии
bn+1 = bn·q
q – знаменатель геометрической
прогрессии
Формула n- ого члена
an =a1 + d·(n – 1)
bn=b1·qn-1
Формула сумма n - первых членов
a1 an
Sn
n
2
S
n
2a1 d( n 1 )
n
2
b1 q n 1
sn
q 1
bn q b1
sn
q 1
4

5. Каким образом сумма бесконечного числа слагаемых может быть конечным, вполне определенным числом?

5

6. Изучение нового (1)

1; 1 ; 1 ; 1 ; … — бесконечная геометрическая
1).
2 4 8
прогрессия
1
1
• b1 = 1; b2= ; q = , |q| < 1
2
2
b1 q n 1
n
q 1
s
n
n
1
1
1
1
n
1
1
2
2
2 2 2
n 1
n 1
1
2
2
1
2
2
s
При n , 2
sn 2 ,
n 1
1
;
2
n 1
0.
s 2 , где S - сумма бесконечной геометрической
прогрессии при q 1.
6

7. Сумма бесконечной геометрической прогрессии S = b1 при |q| < 1 1- q

b1 ; b2 ; b3 …— убывающая
геометрическая прогрессия |q| < 1
sn s при n ,
2)
b1 q n 1
b1 q n b1
b1 b1 q n
b1
b1 q n
т.к. sn
.
q 1
q 1
1 q
1 q
1 q
b1
n
При n , q 0, S n
.
1 q
Сумма бесконечной геометрической
прогрессии
S = b1
при |q| < 1
1- q
грязнова А.К.Изучение нового(2)
7

8. Первичное закрепление

• Представить бесконечную десятичную
периодическую дробь 1,(7) в виде
обыкновенной дроби
Решение
а) 1,(7) = 1,777… = 1
7 7
7
...
10 100 1000
7
7
7
;
;
; . . . геометрическая прогрессия
10 100 1000
1
q = 10
|q| < 1
,
S
b1
при q 1
1 q
b1 =
7
10 ;
7
b2 = 100
7
7
7
S 10 10
9
9
1 1
10 10
Тогда 1,(7) = 1+
7
7
=1
9
9
8

9. Первичное закрепление

• Представить бесконечную десятичную
периодическую дробь 0,(18) в виде
обыкновенной дроби
Решение
0,(18) =0, 181818. . . = 0,18 + 0,0018 + 0,000018 + . . . = ?
0,18, 0,0018, 0,000018, . . . - геометрическая прогрессия
b1 =0,18; b2 =0,0018; q =0,01, |q| < 1
S
b1
при q 1
1 q
S=
0,18
0,18 18
2
1 0,01 0,99 99 11
Тогда 0,(18) =
2
11
9

10. Что же нового узнали мы?

Познакомились с понятиями
бесконечной геометрической прогрессии;
суммы бесконечной геометрической
прогрессии;
С формулой суммы бесконечной
геометрической прогрессии и её применением
Учились заменять бесконечные периодические
дроби обыкновенными
10

11.

Арифметическая
прогрессия
Геометрическая
прогрессия
(bn) – геометрическая
(an ) – арифметическая
прогрессия
прогрессия
an+1=an+d
d - разность арифметической
прогрессии
bn+1 = bn·q
q – знаменатель геометрической
прогрессии
Формула n- ого члена
bn=b1·qn-1
an =a1 + d·(n – 1)
Формула сумма n - первых членов
a1 an
Sn
n
2
S
n
2a1 d( n 1 )
n
2
b1 q n 1
sn
, где q 1
q 1
b q b1
sn n
где q 1
q 1
S n n b1 , если q 1
Сумма бесконечной геометрической прогрессии
S = b1
при |q| < 1
1- q
11

12. Словарь терминов

Перечислите и определите термины,
используемые в теме прогрессии
Числовая последовательность
Арифметическая прогрессия
Разность арифметической прогрессии
Геометрическая прогрессия
Бесконечная геометрическая прогрессия
Знаменатель геометрической прогрессии
Формула n-ого члена
Рекуррентная формула
Формула суммы n-первых членов
последовательности
12

13. Ответьте на вопросы:

• 1) По какому плану сравнивали изученные
понятия "Арифметическая и геометрическая
прогрессии«?
• 2) Укажите их общие существенные признаки.
• 3) Определите существенные различия между
ними.
• 4) Сделайте вывод, вытекающий из сравнения.
13