Кривые второго порядка. Раздел 3

1. Раздел 3 Аналитическая геометрия Кривые второго порядка

07.04.2025

2. Общее уравнение кривой второго порядка

Уравнение
Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F=0,
где A2 + B2 + C2 > 0, является уравнением кривой
второго порядка (КВП).
Примеры
x2 y 2 1 0
уравнение окружности
1
xy 1 0 y
x
уравнение гиперболы
2

3. Эллипс

Эллипс – кривая второго порядка, уравнение которой
в подходящей системе координат имеет вид:
2
2
x
y
2 1
2
a
b
каноническое уравнение эллипса
a b 0
a – большая полуось
b – малая полуось
3

4. Исследование формы эллипса

2
2
x
y
:
2 1
2
a
b
a x a
b y b
эллипс – ограниченная кривая
M 1 x, y
M x, y M 2 x, y
M x, y
3
эллипс – симметричная
кривая относительно
осей координат и
относительно начала
координат
4

5. Исследование формы эллипса

c a 2 b2
М
F1 , F2 фокусы эллипса (левый и правый)
Теорема
Геометрическое свойство эллипса
2
2
x
y
:
2 1
2
a
b
M x, y MF1 MF2 2a
r1 , r2
фокальные радиусы эллипса
5

6. Как построить эллипс

эллипсограф
Эллипс / Этюды // Математические этюды
6

7. Эксцентриситет и директрисы эллипса

c
e
a