Кривые второго порядка
Общее уравнение кривых второго порядка
1. Окружность
Каноническое уравнение окружности
2.Эллипс
Каноническое уравнение эллипса
3. Гипербола
Гипербола со смещенным центром
4. Парабола
Парабола со смещенным центром
Парабола со смещенным центром
Вырожденные кривые второго порядка
Задачи-1
Задачи-2
Задачи-3
Спасибо за внимание.
1.11M
Category: mathematicsmathematics

Кривые второго порядка

1. Кривые второго порядка

1. Окружность
2. Эллипс
3. Гипербола
4. Парабола

2. Общее уравнение кривых второго порядка

Ax 2Bxy Cy 2Dx 2Ey F 0
2
2
А, В, С не равны нулю одновременно

3. 1. Окружность

( x x0 ) ( y y0 ) r
2
2
2
У
М(х;у)
r
у0
A( x0 ; y0 ) – центр окружности;
r – радиус окружности.
О
А(х0;у0)
х0
Х

4. Каноническое уравнение окружности

x y r
2
2
2
У
r
О (0;0) – центр окружности;
r
r
О
r – радиус окружности.
(0;0)
r
Х

5. 2.Эллипс

( x x0 ) ( y y0 )
1
2
2
a
b
2
2
У
В
r1
b
A( x0 ; y0 )
– центр эллипса;
В,С,Д,Е – вершины эллипса.
Е
r2
А (х0;у0)
F1
а
F1, F2 – фокусы эллипса;
r1 , r2– фокальные радиусы.
а – большая полуось эллипса;
b – меньшая полуось эллипса.
M(x;y)
F2
С
Х
Д

6.

F1F2 =2с
L1
L2
У
с – половина расстояния
между фокусами.
c a b
2
2
2
- эксцентриситет эллипса,
c
; 0 <1
.
a
F1
А (х0;у0)
F2
c
О
Х
a/

7. Каноническое уравнение эллипса

2
2
x
y
1
2
2
a
b
О (0;0) – центр эллипса;
F1 (-c;0), F2 (c;0) –
фокусы эллипса;
c a b
2
L1:
x
2
2
a
x
; L2:
У
L2
М(х;у)
b
r2
r1
F1
F2
О (0;0)
c
a
Х
a/
.
a
– директрисы эллипса.

8.

2
2
x
y
2 1
2
b
a
У
L2
b
О (0;0) – центр эллипса;
F2
b
F1 (0;-c), F2 (0;c) –
фокусы эллипса;
c a b
2
c
b
2
2
О (0;0)
a
а
Х
c
.
F1
L1

9. 3. Гипербола

2
У
2
x
y
1
2
2
a
b
О (0;0)– центр гиперболы;
А,В – вершины гиперболы.
F1, F2 – фокусы гиперболы;
r1 , r2– фокальные радиусы.
|r1 - r2|=2a
r1
М (х;у)
r2
F1
F2
А
О
В
Х

10.

F1 (-с;0), F2 (с;0)
a – действительная полуось;
b – мнимая полуось;
c – половина расстояния между фокусами.
L1
У
L2
a/
в
y1 x
a
y2
в
x
a
а
c a b
2
2
в
2
-эксцентриситет гиперболы, 1.
у1, у2 – асимптоты гиперболы.
F1
F2
с
Х

11.

2
2
y
x
1
2
2
a
b
y2
в
x
a
У
F2
L2
в
F1 (0;-с), F2 (0;с)
а
a – действительная полуось;
b – мнимая полуось;
c – половина расстояния между
в
фокусами.
y x
1
c
a
в/
a
Х
с
L1
F1

12. Гипербола со смещенным центром

( x x0 )2 ( y y0 ) 2
1
2
2
b
a
С (х0;у0) – центр гиперболы.
У
С (х0;у0)
F1
А
F2
В
О
F1 (х0-c;у0), F2 (х0+c;у0) –
фокусы гиперболы
Х

13. 4. Парабола

y 2 px
2
У
L
р 0
р – расстояние от фокуса до
директрисы.
r1; r2 - фокальные радиусы.
r1
М
r2
r1 r2
О(0;0) – вершина параболы.
p
F ( ;0) - фокус параболы.
2
p/2 О
p/2
F
Х

14.

x 2 py
У
2
О(0;0) – вершина параболы.
p
F (0; ) - фокус параболы
2
F
р\2
О
р\2
Х
L

15. Парабола со смещенным центром

У
У
L
L
у0
у0
p/2
О
p/2
х0
p/2
F
Х
( y y0 ) 2 p( x x0 )
2
F
О
p/2
х0
( y y0 )2 2 p( x x0 )
Х

16. Парабола со смещенным центром

У
У
F
L
р\2
у0
р\2
у0
р\2
р\2
L
О
х0
( x x0 )2 2 p( y y0 )
Х
F
О
х0
( x x0 )2 2 p( y y0 )
Х

17. Вырожденные кривые второго порядка

Пара прямых
a x b y e c x d y m 0
Совпадающие прямые
a x b y
2
0
Точка (вырожденный
эллипс)
2
a x b y
c x d y 0
Пустое множество
a x b y
2
2
c x d y 1
2

18. Задачи-1

Определить тип следующих кривых, найти их полуоси,
фокусные расстояния, координаты центра, координаты
фокусов. Для гипербол записать уравнения асимптот.
Построить графики кривых.
1)
2)
3)
4)
5)
4 x 9 y 24 x 36 y 36 0
2
2
36 x y 72 x 6 y 11 0
2
2
36 x 144 y 108x 192 y 1 0
2
2
4 x 8 y 4 x 16 y 23 0
2
4 y x 16 y 19 0
2
2

19. Задачи-2

6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
4 x 24 x 2 y 37 0
2
2
3x 4 y 18x 16 y 43 0
2
2
27 x 36 y 18x 24 y 101 0
2
x 3x 2 0
2
2
2 x 2 y 3xy 7 x y 3 0
2
2
9x 9 y x 8 y 1 0
2
2
4 x 4 y 16 x 24 y 43 0
2

20. Задачи-3

13) При каком радиусе окружность с центром в точке
Q(1, 2) будет касаться прямой, проходящей через точки
A(-3, -2) и B(1, 5) ?
14) Найти точки пересечения эллипса с фокусами
F1(1, 2), F2(5,2) и большой полуосью 2.5 с прямой,
проходящей через точки A(1, -1) и B(4, 8).

21. Спасибо за внимание.

2012.ЕМА
English     Русский Rules