Линейные неравенства с одной переменной и их решение

1. ЛИНЕЙНЫЕ НЕРАВЕНСТВА С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И ИХ РЕШЕНИЕ

2. Определение

Запись вида a > b (a ≥ b) или a < b
(a ≤ b ) называется неравенством.
Неравенства вида a ≥ b, a ≤ b
называются ……
нестрогими
Неравенства вида a < b, a > b
называются ……
строгими

3. Свойства равносильности неравенств

Любой член неравенства
можно переносить из одной
части неравенства в другую с
противоположным знаком,
НЕ МЕНЯЯ при этом знак
самого неравенства:
2х + 8 ≥ 4х + 7
2х – 4х ≥ 7 – 8

4. Свойства равносильности неравенств

Обе части неравенства можно
умножить или разделить на
одно и тоже положительное
число, не меняя при этом знак
самого неравенства.
5х – 15 < 0 | · 5
25х – 75 < 0
5х – 15 < 0 | : 5
х–3<0

5. Свойства равносильности неравенств

Обе части неравенства можно
умножить или разделить на одно
и тоже отрицательное число,
изменив при этом знак неравенства
на противоположный.
–6х > 12 | · (– 6)
36х < – 72
–6х > 12 | : (– 6)
х <–2

6. Алгоритм решения неравенств первой степени с одной переменной

• РАСКРЫТЬ СКОБКИ (ПРИ ИХ НАЛИЧИИ – ПО УСЛОВИЮ)
• СГРУППИРОВАТЬ СЛАГАЕМЫЕ С ПЕРЕМЕННОЙ В ЛЕВОЙ
ЧАСТИ НЕРАВЕНСТВА, А БЕЗ ПЕРЕМЕННОЙ – В ПРАВОЙ
ЧАСТИ, ПРИ ПЕРЕНОСЕ МЕНЯЯ ЗНАКИ.
• ПРИВЕСТИ ПОДОБНЫЕ СЛАГАЕМЫЕ.
• РАЗДЕЛИТЬ ОБЕ ЧАСТИ НЕРАВЕНСТВА НА КОЭФФИЦИЕНТ
ПРИ ПЕРЕМЕННОЙ, ЕСЛИ ОН НЕ РАВЕН НУЛЮ.
• ИЗОБРАЗИТЬ МНОЖЕСТВО РЕШЕНИЙ НЕРАВЕНСТВА НА
КООРДИНАТНОЙ ПРЯМОЙ.
• ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ В ВИДЕ ЧИСЛОВОГО ПРОМЕЖУТКА.

7. ЧИСЛОВОЙ ПРОМЕЖУТОК или ИНТЕРВАЛ (ПРАВИЛЬНАЯ ЗАПИСЬ ОТВЕТА НЕРАВЕНТСВА)

1. Если по условию неравенство – НЕСТРОГОЕ, то
ответ записывают в круглых скобках, например,
ответ неравенства – (– ;5).
2. Если по условию неравенство – СТРОГОЕ, то
ответ записывают в квадратных скобках, например,
ответ неравенства – [8;5].
3. Бесконечность и минус бесконечность в любом
неравенстве ВСЕГДА записываются с КРУГЛОЙ скобкой.

8. УСТНАЯ РАБОТА

1) Перед вами неравенства, их геометрические интерпретации и
записи соответствующих числовых промежутков, но всё
перепутано. Необходимо восстановить истинную картину.
Неравенство
1. X<5
Решение
1. [5;+ )
Графическая иллюстрация
1.
2. x≥5
2. (5; + )
2.
3. 5<x
3. (- ;5]
3.
4. 5≥x
4. (- ;5)
4.

9. Устные упражнения

Решите неравенство:
1) – 2х < 4
2) – 2х > 6
х>-2
х<-3
4) – х < 12
х > - 12
5) – х ≤ 0
х≥0
3) – 2х ≤ 6
х≥-3
6) – х ≥ 4
х≤-4
Знак изменится, когда неравенств обе части
Делить на с минусом число

10. Пример 1. Решим неравенство 3(2х – 1) > 2(х + 2) + х + 5.

Пример 1. Решим неравенство
3(2х – 1) > 2(х + 2) + х + 5.
• Раскроем скобки
приведём подобные слагаемые:
• Сгруппируем в левой части
слагаемые с переменной, а
в правой - без переменной:
• Приведём подобные слагаемые:
• Разделим обе части неравенства
на положительное число 3,
сохраняя при этом знак
неравенства:
6х – 3 > 2х + 4 + х + 5
6х – 3 > 3х + 9
6х – 3х > 9 + 3
3х > 12
х>4
4
х
Ответ: (4; + ∞)

11. Пример 2. Решим неравенство > 2.

Пример 2. Решим неравенство
• Умножим обе части
неравенства на наименьший
общий знаменатель дробей,
входящих в неравенство, т. е.
на положительное число 6:
• Приведём подобные слагаемые:
• Разделим обе части на
отрицательное число – 1,
изменив знак неравенства на
противоположный:
х х > 2.
3 2
х
х
6 6 > 2 • 6
3
2
• 2х – 3х > 12
• - х > 12
• х < - 12
- 12
Ответ:(- ∞; -12)
х

12. ЗАКРЕПЛЕНИЕ ИЗУЧЕННОГО МАТЕРИАЛА

Работа в парах (тест )
1. Является ли число
-5 решением неравенства 2х≥10 ?
2. Является ли число
6 решением неравенства
3. Является ли неравенство
4. Соответствует ли неравенство
5. Соответствует ли промежуток (5; 0)
6. Число 8 является наименьшим целым числом неравенства Х≥8 ?
2х+8≥3
2х≥10 ?
строгим?
-1≤х≤5 промежутку( -2;5)?
неравенству
Х≤5 ?

13. Неравенства вида ах > b или ах < b, где а и b – некоторые числа, называют линейными неравенствами с одной переменной.

Неравенства вида ах > b или ах < b, где а и b –
некоторые числа, называют линейными неравенствами
с одной переменной.
5х ≤ 15,
3х > 12,
- х > 12
• Решения неравенств ах > b или ах < b при а = 0.
Ответ: х – любое число.
Пример 1. 0 • х < 48
Ответ: нет решений.
Пример 2. 0 • х < - 7
• Линейное неравенство вида 0 • х < b или 0 • х > b, а
значит и соответствующее ему исходное
неравенство, либо не имеет решений, либо его
решением является любое число.

14. Домашнее задание

• Найдите решение неравенств:
1) 0 • х < 7
2) 0 • x < -7
3) 0 • х ≥ 6
4) 0 • х > - 5
5) 0 • х ≤ 0
6) 0 • x > 0

15. Домашнее задание

16. Классная работа 14.03

Решить неравенство:
1)
2)
х - 0,25(х + 4) + 0,5(3х - 1) > 3;
х² + х < х(х - 5) + 2.

17. Реши задачи

I. Найдите наибольшее целое число, являющееся
решением неравенства
2(х-3) - 1-3(х-2) - 4(х+1) > 0
II. Найдите наименьшее целое число,
являющееся решением неравенства
0,2(2х+2) - 0,5(х-1) < 2
III. Найдите наименьшее натуральное число,
являющиеся решением неравенства
3х - 3 < 1,5х + 4

18. Решение задачи I.

I. Найдите наибольшее целое число, являющееся
решением неравенства
2(х-3) - 1-3(х-2) - 4(х+1) > 0
2х - 6 - 1- 3х + 6 - 4х - 4 > 0
-5х - 5 > 0
-5х > 5
х < -1
х
-3
-2
-1
x (-∞; -1)
Ответ: -2

19. Решение задачи II.

II. Найдите наименьшее целое число,
являющееся решением неравенства
0,2(2х+2) - 0,5(х-1) < 2
0,4х + 0,4 - 0,5х +0,5 < 2
- 0,1х + 0,9 < 2
- 0,1х < 2 – 0,9
- 0,1х < 1,1
х > - 11
x
-11
-10 -9
x
Ответ: - 10.
(-11; +∞)

20. Решение задачи III.

III. Найдите наименьшее натуральное число,
являющиеся решением неравенства
3х - 3 < 1,5х + 4
3х - 1,5х < 4+3
1,5х < 7
х<
х
1
x
(-∞;
2
3
4
), натуральные решения 1; 2; 3;4.
Ответ: 1

21. Домашнее задание

Записать решение
№3,4,6,78,9