Анализ и особенности матрицы

1.

Лекция 2.
Анализ и особенности матрицы
1. Матрица и ее виды
2. Основные операции над матрицами
3. Определитель матрицы

2.

Рассмотрим прямоугольную матрицу. Если в
этой матрице выделить произвольно k строк и
k столбцов, то элементы, стоящие на
пересечении выделенных строк и столбцов,
образуют квадратную матрицу k-го порядка.
Определитель этой матрицы называется
минором k-го порядка матрицы А.

3.

Наибольший из порядков миноров данной
матрицы, отличных от нуля, называется рангом
матрицы. Если ранг матрицы А равен r, то это
означает, что в матрице А имеется отличный от
нуля минор порядка r, но всякий минор
порядка, большего чем r, равен нулю. Ранг
матрицы А обозначается через r(A).

4.

Элементарными называются следующие
преобразования матрицы:
1) перестановка двух любых строк (или столбцов)
2) умножение строки (или столбца) на отличное от
нуля число,
3) прибавление к одной строке (или столбцу)
другой строки (или столбца), умноженной на
некоторое число.

5.

Две матрицы называются эквивалентными,
если одна из
них получается из
другой с
помощью конечного множества элементарных
преобразований.
Эквивалентные матрицы не являются, вообще
говоря, равными, но их ранги равны. Если матрицы
А и В эквивалентны, то это записывается так:
A
B

6.

Диагональная матрица, у которой все элементы
главной диагонали равны 1, называется единичной
и обозначается En

7.

8.

Если число столбцов матрицы равно числу строк
(n=m), то матрица называется квадратной.

9.

Квадратная матрица вида
называется диагональной матрицей.

10.

Если aij= aji , то матрица называется
симметрической

11.

Матрицы A и B одного размера называются
равными, если равны их соответствующие элементы

12.

Основные операции над матрицами
1. Сложение и вычитание матриц
2. Умножение матрицы на число
3. Произведение матриц
4. Транспонирование матриц
5. Нахождение обратной матрицы

13.

Сложение и вычитание матриц сводится к
соответствующим операциям над их
элементами. Самым главным свойством этих
операций является то, что они определены
только для матриц одинакового размера.

14.

Суммой (разностью) матриц A и B одного и того же
размера mn× является матрица, того же размера ,
элементами которой являются соответственно сумма
cij = aij ± bij . (разность) элементов исходных матриц A и B:
Записывают С = А ± В.

15.

Основные свойства:
1. А + В= В+A
2. (A+B)+C=A+(B+C)
3. если С = А + В, то B=C-A и A=C-B
4. A+Ο=A, A-A=Ο, где – нулевая матрица

16.

Произведением матрицы А любого размера на
произвольное число α называется матрица С того же
размера, что и матрица А, элементы которой равны
соответствующим элементам матрицы А,
умноженным на это число α:

17.

Основные свойства
1.