Отношение эквивалентности. Свойства эквивалентности. Вычисление предела последовательностей и функций

1.

Лекции 2
Отношение эквивалентности. Свойства
эквивалентности. Вычисление предела
последовательностей и функций.
Операции над эквивалентностями.
Эквивалентности и сумма. Эквивалентности
и экспонента. Эквивалентности и логарифм.
Последовательности. Бесконечно малые
последовательности.
Аскарова А.Ж.

2.

План лекции
1. Свойства эквивалентности.
2. Вычисление пределов последовательностей
и функций.
3. Бесконечно малые последовательности.
4. Примеры
Аскарова А.Ж.

3.

Эквивалентность
Свойства эквивалентности
Утверждение 1 Пусть a R и f ~ g .
a
Если f имеет предел в a (который может быть
бесконечным), то g имеет предел в a и
lim f x lim g x .
x a
x a
Замечание. Эта теорема говорит нам, что если
мы знаем эквивалент f, предел которого мы
можем вычислить, то f допускает этот предел.
Аскарова А.Ж.

4.

Эквивалентность
- Мы можем иметь f ~a g
без того, чтобы f
или g имели пределы.
- Мы можем иметь f x ~ g x без f ~a g .
x a
Например, f х х и
g х х в
2
окрестности 0 или .
Аскарова А.Ж.

5.

Эквивалентность
- f ~l l R в окрестности a эквивалентно
f x l , если l 0 , но для f ~l l 0
lim
x a
эквивалентно, что f является тождественно
нулевая в окрестности a.
- f ~ g в окрестности a не означает, что
lim f g 0 и lim f g 0 не означает, что
x a
f ~ g в окрестности a.
x a
Аскарова А.Ж.

6.

Эквивалентность
Утверждение 2
f ~ g тогда и только тогда, когда f g o g
a
в окрестности a.
Аскарова А.Ж.

7.

Эквивалентность
Утверждение 3 Пусть f , g и h определены в
окрестности a ( a R или a ). Tогда
- f~f ;
a
- Если f ~ g , то g ~ f ;
a
a
- Если f ~ g и g ~ h , то f ~ h .
a
a
a
Доказательства непосредственно вытекают
из определений.
Аскарова А.Ж.

8.

Эквивалентность
Утверждение 4:
Предел отношения двух бесконечно малых
функций не изменится, если каждую или одну
их
них
заменить
эквивалентной
бесконечно малой.
Аскарова А.Ж.
ей

9.

Эквивалентность
Утверждение 5: Разность двух эквивалентных
бесконечно малых функций есть бесконечно
малая более высокого порядка, чем каждая из
них
Утверждение 6: Сумма конечного числа
бесконечно малых функций разных порядков
эквивалентна слагаемому низшего порядка.
Аскарова А.Ж.

10.

Эквивалентность
•Слагаемое, эквивалентное сумме бесконечно
малых функций, называется главной частью
этой суммы.
•Замена суммы бесконечно малых функций ее
главной частью называется отбрасыванием
бесконечно малых высшего порядка.
Аскарова А.Ж.

11.

Эквивалентность
Операции с эквивалентами.
Утверждение 7. Пусть f 1 , f 2 , g1 , g 2 определены
в окрестности a. Если f1 ~ f 2 и g1 ~ g 2 , то
a
a
- f1 g1 ~ f 2 g 2
a
-
f1 f 2
~
g1 a g 2
(Если существует в окрестности a)
- Для любого R такого, что функции являются
точно определенными в окрестности a, f1 ~a f 2
- f1 ~ f 2 .
a
Аскарова А.Ж.

12.

Эквивалентность
Пример 1.
2
x x
-Имеем 1 cos x 2 sin ~0 , поэтому
2 2
2
2
.
x
cos x ~ 1
o x2
0
2
1 cos 2 x
Пусть f : x ln 1 x 2
. Мы хотим узнать,
имеет ли f предел при 0 и вычислить его.
Аскарова А.Ж.

13.

Эквивалентность
Пример 1.
2
x x
-Имеем 1 cos x 2 sin ~0 , поэтому
2 2
2
2
.
x
cos x ~ 1
o x2
0
2
1 cos 2 x
Пусть f : x ln 1 x 2
. Мы хотим узнать,
имеет ли f предел при 0 и вычислить его.
1 cos 2 x sin 2 x ~ x 2 и ln 1 x 2 ~ x 2 .
Поэтому по критериям f x ~ 1 .
Аскарова А.Ж.

14.

Эквивалентность
Пример 2.
Аскарова А.Ж.

15.

Эквивалентность
Пример 2.
Аскарова А.Ж.

16.

Эквивалентность
Пример 3.
Аскарова А.Ж.

17.

Эквивалентность
Пример 3.
Аскарова А.Ж.

18.

Эквивалентность
Пример 4. Найти предел lim
x 1
ln(2 x)
x3 1
Аскарова А.Ж.

19.

Эквивалентность
Пример 4. Найти предел lim
x 1
ln(2 x)
x3 1
Решение:
0
Имеем неопределённость вида 0
lim
ln 1 (1 x)
x 1 (1 x)( x 2 x 1)
lim
1
x 1 x 2 x 1
1
3
Аскарова А.Ж.

20.

Эквивалентность
Пусть P x a n x n .... a 0 , при a n 0 и
Q x b p x p .... b0 , при bn 0 ,
тогда
P x a n n p
.
F x
~
x
Q x b p
Аскарова А.Ж.

21.

Эквивалентность и сумма
Эквиваленты и сумма
Предостережение о том, что сумма не является
устойчивой, при переходе к эквивалентам.
cos x ~ 1 x .... верно, но
0
!
Если мы хотим быть более точными, нам
придется оценить остатки выражений, что
можно сделать с помощью метода
асимптотического разложения многочленов.
Аскарова А.Ж.

22.

Эквивалентность
Утверждение 8. Если f ~ g , то существует
a
окрестность V точки a, на которой для всех
x V , f (x) и g (x) имеют одинаковый знак.
Для каждого отношения o , ~ мы можем
заменить функцию эквивалентной функцией.
Например: если f a o g , f ~ f1 и g ~a g1 , то
f 1 ~ o g 1 .
a
f x o sin x
a
n
f x o x
n
Аскарова А.Ж.

23.

Эквивалентность
Эквиваленты и экспонента
Утверждение 9 .
f
e ~e
g
a
lim e
lim f g 0
a
1 lim f g , x
f g
a
2
x2
e
x2 x
x2
x , но e ~0 e .
a
x ~ x x , но e
2
2
x
.
Аскарова А.Ж.

24.

Эквивалентность
Эквиваленты и логарифм
Утверждение 10.
Если f , g : A R R a A такие, что f ~a g .
*
Если g допускает предел l R \ 1 .
Тогда ln f ~ ln g . ln f 1 ln f / g .
a
ln g
ln g
Аскарова А.Ж.

25.

Последовательность
Последовательности.
Последовательность u n n N - это функция
из N в R, а исследование последовательности
- это исследование в окрестности .
Поэтому мы можем использовать и
адаптировать предыдущие предложения.
Аскарова А.Ж.

26.

Последовательность
Числовая последовательность (an) называется
бесконечно малой числовой последовательностью,
если
lim n 0
n
или для любого сколь угодно малого числа > 0
существует такой номер N = N (M), начиная с
которого для всех п выполнено неравенство
| n | .
Примеры: 1 ;
n
(q ) при | q | 1.
n
Аскарова А.Ж.

27.

Последовательность
1. Сумма конечного числа б.м.ч.п. есть б.м.ч.п.
2. Произведение конечного числа б.м.ч.п. есть
б.м.ч.п.
3. Произведение ограниченной числовой
последовательности на б.м.ч.п. есть б.м.ч.п.
4. Связь числовой последовательности, её предела и
б.м.ч.п. Числовая последовательность (хп) имеет
своим пределом число а тогда и только, когда её
можно представить в виде
xn a n
где n – бесконечно малая числовая
последовательность.
Аскарова А.Ж.

28.

Последовательность
Утверждение 11. Мы говорим, что u n n N
пренебрежимо мало перед v n n N , если
существует последовательность n n N ,
стремящаяся к 0, такая, что u n n v n
в окрестности .
Аскарова А.Ж.

29.

Последовательность
Мы говорим, что u n n N эквивалентна
vn n N , если существует последовательность
n n N , стремящаяся к 1, такая, что u v
n
n n
в окрестности .
Все предыдущие предложения о функциях
могут быть адаптированы к
последовательностям.
Аскарова А.Ж.

30.

Пример 5
Найти предел функции
lim
x 1
3 3x 2 1
x 5 3 x
Аскарова А.Ж.

31.

Пример 5
Найти предел функции
3 3x 2 1
lim
x 5 3 x
x 1
Решение:
0
0
Имеем неопределённость вида
x 5 3 x 3 (3x 2)2 3 3x 2 1
lim
x 1 x 5 3 x x 5 3 x 3 (3 x 2) 2 3 3 x 2 1
(3 x 3) x 5 3 x
lim
2
(3 3 x 2 1)
x 1 2( x 1) 3 (3 x 2) 2 3 3 x 2 1
Аскарова А.Ж.

32.

Пример 6
Найти предел
lim
x x3
x 0 e x e 3 x
Решение:
Аскарова А.Ж.

33.

Пример 6
Найти предел
lim
x x3
x 0 e x e 3 x
Решение:
0
0
Имеем неопределённость вида
lim
x 0 (e
x(1 x 2 )
x
1) (e
3 x
1 x2
lim
1
4
x 0 1 ( 3)
1)
lim
x 0 (e
1 x2
x
3 x
1) (e
1)
x
x
Аскарова А.Ж.

34.

Пример 7
Найти предел
lim 3
x 0
1 x 1
1 x 1
Решение:
Аскарова А.Ж.

35.

Пример 7
Найти предел
lim 3
x 0
1 x 1
1 x 1
Решение:
1 x 1 0 1 x t 6
t 3 1 0
lim 3
lim 2
x 0 1 x 1
0 x 0; t 1 t 1 t 1 0
2
(t 1)(t 2 t 1)
t t 1 1 1 1 3
lim
lim
.
t 1
t 1 t 1
(t 1)t 1)
1 1
2
Аскарова А.Ж.

36.

Пример 8
Вычислите пределы при 0 для функций:
А).
2tgx sin 2 x
х
sin 3 x
Б).
х cos x tgx 2
1
Аскарова А.Ж.

37.

Пример 8
А
2
sin x
2 cos x
2tgx sin 2 x
cos x
lim
lim
3
3
sin
x
sin
x
x 0
x 0
2 2 cos 2 x
2
2
1
cos
x
2
cos
x
lim
lim
lim
2
2
2
sin x
x 0
x 0 cos x sin x
x 0 cos x
Аскарова А.Ж.

38.

Пример 8
Б
cos x tgx е
1
2
ln cos x
1
tgx 2
2x
ln
1
2
sin
2
2
tgx
1
е
1
1
1
x2
1
2 x
2 x
ln
1
2
sin
2
sin
2
lim 2
lim 2
lim
2
2
2 x 0 x
4
2
x 0 tgx
x 0 tgx
lim cos x
x 0
1
tgx
2
e
1
2
1
e
Аскарова А.Ж.

39.

Ссылки
https://www.youtube.com/watch?v=S5BVR
8FBwNg
https://www.youtube.com/watch?v=dZnYYl
s2uwk
https://www.youtube.com/watch?v=63i38Q
HwlHQ
https://www.youtube.com/watch?v=hQVZP
4eZgGs
Аскарова А.Ж.