Проект-математика.Сфера-и-шар. (1)

1.

Автономное профессиональное образовательное учреждение
Вологодской области
«Вологодский колледж связи и информационных технологий»
СОГЛАСОВАНО:
Заместитель директора по методическому
сопровождению и инновационной
деятельности
С.В. Подлужная
2024г
ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ по
математике
СФЕРА И ШАР
Группа: ИИС-124, «Интеллектуальные интегрированные системы»
Студент: Лисин Т.Г.
Студент: Кошкин А.Д.
Руководитель: Авдуевская Н.С.
Вологда,
2024г.

2.

ПАСПОРТ ПРОЕКТА
Тема проекта: Сфера и шар.
Руководитель проекта: Авдуевская Наталья Сергеевна.
Учебная дисциплина, в рамках которой проводится работа по проекту:
Автономное профессиональное образовательное учреждение Вологодской области
«Вологодский колледж связи и информационных технологий». Междисциплинарные
связи: Математика.
Тип проекта: Прикладной.
Проблема проекта: Недостаток доступных и понятных материалов по свойствам и
формулам, связанным с геометрией этих фигур.
Объект: Геометрические тела шар и сфера.
Предмет: Шар и сфера.
Цель проекта: Изучить геометрические тела шар и сферу.
Задачи проекта:
• Рассмотреть материал по теме
• Охарактеризовать шар и сферу
• Сравнить все определения сферы и шара
Сроки и этапы работы над проектом:
Подготовительный этап: Сентябрь (Выбор темы и руководителя проекта) Основной этап:
Октябрь-Ноябрь (разработка плана и сбор информации о теме) Заключительный этап:
Декабрь (Защита проекта)
Ресурсное обеспечение проекта: оборудование (компьютер и приложение Word),
материал (записи в тетради и информация из учебников)
Аннотация проекта: Тема проекта шар и сфера, тип проекта прикладной, цель проекта
изучение геометрических тел шар и сфера и рассмотрение их применений в разных областях.
Продукт проекта: художественная творческая работа
2

3.

СОДЕРЖАНИЕ
2
Паспорт проекта
1.Раздел:
• Определение сфера и шара..............................................4
• Уравнение сферы..........................................................................5
Взаимное
расположение
сферы
и
плоскости...................................6
• Касательная плоскость к сфере...................................................7
• Площадь сферы.........................................................................8
2.Раздел:
3

4.

СФЕРА И ШАР
Определение сферы и шара
Сферой называется поверхность, состоящая
из всех точек пространства, расположенных на
данном расстоянии от данной точки.
На рисунке точка О - центр сферы, а
расстояние от точки О до точки С - радиус сферы.
Радиус обозначают латинской буквой R.
(Любой
отрезок,
соединяющий
центр
и
нибудь точку сферы,
также является радиусом сферы.)
какуюОтрезок AB проходящий через центр сферы, называется диаметром
сферы и диаметр равен 2R.
Сфера может быть получена
вращением полуокружности вокруг её
диаметра.
Тело
ограниченное
сферой,
называется шаром.
Центр, радиус и диаметр сферы также являются центром, радиусом и
диаметром шара.
4

5.

УРАВНЕНИЕ СФЕРЫ
Выведем уравнение сферы радиуса R
с центром С (хо; y 0 ; z 0 ). Расстояние от
произвольной точки M (x; y; z) до точки С
вычисляется по данной формуле:
МС = у / ( х - х0)2 + (у - у0У + (z - z0)2
Если точка М лежит на данной сфере, то MC = R, или MC2 = R2, т. е.
координаты точки М удовлетворяют уравнению
(х - Хо)2 + ( у - Уо)2 + ( z - Z 0) 2 = R 2 Если же точка М
(x; y; z) не лежат на данной сфере, то МС2 ^ R2, т. е. координаты точки М не
удовлетворяют уравнению
(х - Хо)2 + ( у - Уо ) 2 + ( z - Z 0) 2 = R 2 Следовательно,
в прямоугольной системе координат уравнение сферы радиуса R с центром
C (х0; у 0 ; z 0 ) имеет вид:
(х - Хо)2 + (у - У о ) 2 + ( z - Z 0) 2 = R 2
5

6.

Взаимное расположение
сферы и плоскости
Есть три взаимных
расположения сферы и
плоскости и оно влияет от
соотношения между
радиусом сферы и
расстояния от её до центра
до плоскости.
1.
d<R. Плоскость Oxy совпадает с плоскостью а, а
центр С
сферы
лежит на
полуоси
Oz. меньше радиуса
(Если
расстояние
отположительной
центра сферы до
плоскости
сферы, то сечение сферы плоскостью есть окружность.)
2. d>R.
(Если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса
сферы, то сфера и плоскость не имеют общих точек.)
3. d=R.
(Если расстояние от центра сферы до плоскости равен радиусу
сферы, то сфера и плоскость имеют только одну общую точку.)
6

7.

КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ К СФЕРЕ
Плоскость, имеющая со сферой одну
общую точку, называется касательной
плоскостью к сфере, а их общая точка
называется точкой касания плоскости
и сферы.
На рисунке плоскость а - касательная к
сфере с центром О, А - точка касания.
Касательная плоскость к сфере
обладает
свойством, аналогичным свойству касательной к окружности. Оно
выражается в следующей теореме:
Теорема
Радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и плоскости,
перпендикулярен к касательной плоскости.
7

8.

ПЛОЩАДЬ СФЕРЫ
В отличие от боковой
поверхности цилиндра или конуса сферу
нельзя развернуть на плоскость, и,
v
У/
следовательно, для неё не
пригоден способ определения и вычисления площади поверхности с
помощью
развёртки.
воспользоваться
Для
понятием
определения
описанного
площади
многогранника.
сферы
нужно
Многогранник
называется описанным около сферы (шара), если сфера касается всех его
граней. При этом сама сфера называется вписанной в многогранник( на
рисунке показаны вписанная сфера).
Формулой для вычисления сферы радиуса R является:
5 = 4nR2
8

9.

Задачи на тему сфера и шар
1. Напишите уравнение сферы с центром А, проходящей через точку N, если:
A (-2; 2; 0), N (5; 0; -1);
Дано:
A (-2; 2; 0)
N (5; 0; -1);
Решение:
Воспользуемся формулой (х — х0)2 + (у — у0)2 + (z — z0)2 = R2.
2. Подставим координаты точек A и N => (5 + 2)2 + (0 — 2)2 + (—1 — 0)2 = R2 =>
49 + 4+1 = R2 => R = V54
R = 3V6.
(5 + 2)2 + (0 — 2)2 + (—1 — 0)2 = (3V6)2 Напишите уравнение сферы радиуса R с центром А, если:
A (2; -4; 7);
R = 3;
Решение:
Тут также нужно применить формулу (х — х0)2 + (у — у0)2 + (z — z0)2 = й2. Подставив координаты
A и радиус R =>
(х — 2)2 + (у + 4)2 + (z — 7)2 = 9. - это и будет решением данной задачи.
3. Найдите координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением: х2 + у2 + 22 = 49
Здесь нужно посмотрев на формулу (х — х0)2 + (у — у0)2 + (z — z0)2 = й2 найти координаты и
радиус.
O (0;0;0)
R-7
4. Допустим, у нас есть сфера с радиусом R=5 см. Найдем площадь этой сферы используя формулу
для нахождения площади сферы. S=4nR2
Подставим значение радиуса в формулу:
S=4*n х (5)2 = 100п (см2)
9