тригонометрические уравнения

1.

Методы решения
тригонометрических уравнений

2.

Содержание
• Метод замены переменной
• Метод разложения на множители
• Однородные тригонометрические уравнения

3.

Метод замены переменной
С помощью замены t = sinx или t = cosx, где t ∈ [−1;1]
решение исходного уравнения сводится к решению
квадратного или другого алгебраического уравнения.
См. примеры 1 – 3
Иногда используют универсальную тригонометрическую
x
подстановку: t = tg
2
α
1 tg
1 t2
2
cos α
2
1
t
2 α
1 tg
2
2
sin α
α
2tg
2
1 tg 2
α
2
2t
1 t2

4.

Пример 1
2 sin 2 x 5 sin x 2 0
Пусть sin x t , где t 1; 1 , тогда
2t 2 5t 2 0
t1 2, не удовлетворяет условию t 1; 1
t 2 1 ;
2
Вернемся к исходной переменной
1
sin x
2
1
n
x 1 arcsin πn , n Z
2
n π
x 1
πn , n Z
6
n π
Ответ : 1
πn , n Z .
6

5.

Пример 2
cos 2 x sin 2 x cos x 0
Поскольку sin 2 x 1 cos2 x , то
cos 2 x 1 соs 2x cos x 0
2cos 2 x cos x 1 0
Пусть соsx t , где t 1; 1 , тогда
2t 2 t 1 0
t1 1,
t 2 1 ;
2
Вернемся к исходной переменной :
x 2πk , k Z
соsx 1,
1
x arccos 1 2πn , n Z
cos x ;
2
2
Ответ : 2πk , k Z ;
x 2πk , k Z
x 2π 2πn , n Z
3
2π
2πn , n Z .
3

6.

tg
x
x
3ctg 4
2
2
Пример 3
Вернемся к исходной переменной
x
x
tg
1
,
x
1
2
2 arctg1 πn , n Z
Поскольку ctg
, то
2 tg x
x
x arctg 3 πk , k Z
tg
3
;
2
x
3
2
2
tg
4
2 tg x
x
arctg1 πn , n Z
2
x
2
Пусть tg t , где t 0, тогда
2
x arctg 3 πk , k Z
2
3
t 4
t
t
x π
πn , n Z
2
2 4
t 4t 3 0
x 2arctg 3 πk , k Z
t1 1
t 3
π
2
x
2πn , n Z
2
x 2arctg 3 2πk , k Z
π
Ответ :
2πn ; 2arctg 3 2πk ; n , k Z .
2

7.

Метод разложения на множители
Суть этого метода заключается в том, что
произведение нескольких множителей равно нулю,
если хотя бы один из них равен нулю, а другие при
этом не теряют смысл:
f(x) · g(x) · h(x) · … = 0
⟺ f(x) = 0 или g(x) = 0 или h(x) = 0
и т.д. при условии существования каждого из сомножителей
См. примеры 4 – 5

8.

Пример 4
1
2
sin x cos x 0
3
5
1
sin x 3 0,
cos x 2 0;
5
1
sin
x
,
3
cos x 2 ;
5
1
1
n
n
x 1 arcsin 3 πn , n Z
x 1 arcsin 3 πn , n Z
x π arccos 2 2πk , k Z
x arccos 2 2πk , k Z
5
5
Ответ : 1 arcsin
n
1
2
πn ; π arccos 2πk ; n ,k Z .
3
5

9.

Пример 5
2sin x cos 5x cos 5x 0
cos 5x 2sin x 1 0
2 sin x 1 0,
cos 5x 0;
1
sin
x
,
2
cos 5 x 0;
1
n
x
1
arcsin
πn , n Z
2
5x π πk , k Z
2
n π
x
1
πn , n Z
6
x π πk , k Z
10
5
π πk
n π
Ответ : 1
πn , n Z ;
, k Z.
6
10
5

10.

Однородные тригонометрические уравнения
Уравнение вида a sin x + b cos x = 0 называют
однородным тригонометрическим уравнением
первой степени.
a sin x + b cos x = 0
a sin x b cos x
0
cos x + cos x = cos x
a tg x + b = 0
b
tg x = –
a
: cos x
Замечание.
Деление на cos x допустимо, поскольку решения
уравнения cos x = 0 не являются решениями
уравнения a sin x + b cos x = 0.

11.

Однородные тригонометрические уравнения
Уравнение вида a sin2x + b sin x cos x + c cos2x = 0
называют однородным тригонометрическим
уравнением второй степени.
: cos2x
a sin2x + b sin x cos x + c cos2x = 0
a sin2x
b sin x cos x
c cos2x
0
+
=
+
2x
2
2
cos
cos x
cos2x
cos x
a tg2x + b tg x + c = 0
Далее, вводим новую переменную tg x = t и решаем
методом замены переменной.
Замечание. Если в данном уравнении а = 0 или с = 0
то, уравнение решается методом разложения
на множители.

12.

Пример 6
2sin x 3cos x 0
: cos x
2 sin x 3 cos x
0
cos x
cos x
cos x
2tgx 3 0
tgx
3
2
x arctg
3
πn , n Z
2
Ответ : arctg
3
πn , n Z .
2
Пример 7
: cos 2x
sin 2x cos 2x 0
sin 2x cos 2x
0
cos 2x cos 2x cos 2x
tg 2x 1 0
tg 2x 1
π
2x πn , n Z
4
π πn
x
, n Z
8
2
π πn
Ответ :
, n Z.
8
2

13.

Пример 8
sin 2 x 3 sin x cos x 2cos 2 x 0
sin 2 x 3 sin x cos x 2cos 2 x
0
2
2
2
cos x
cos x
cos x
: cos2 x
tg 2x 3tgx 2 0
Пусть tgx t , тогда
t 2 3t 2 0
t1 1
t 2
2
Вернемся к исходной переменной :
π
tgx 1,
x
πn , n Z
4
tgx 2;
x arctg 2 πk , k Z
Ответ :
π
πn ; arctg 2 πk ; n ,k Z .
4

14.

Пример 9
3 sin x cos x cos2 x 0
cos x 3 sin x cos x 0
3 sin x cos x 0,
cos x 0;
: sin x
3 сtgx 0,
ctgx 3
x n, n Z ;
x n, n Z ;
2
2
5
x arсrсc 3 k , k Z ,
x
k , k Z ,
6
x n, n Z ;
x n, n Z .
2
2
Ответ :
5
k ;
6
2
n; n, k Z .

15.

Пример 10
sin 3 x sin 2 x cos x 3 sin x cos 2 x 3cos 3 x 0
: cos3 x
sin 3 x sin 2 x cos x 3 sin x cos 2 x 3cos 3 x
0
3
3
3
3
cos x
cos x
cos x
cos x
tg 3 x tg 2x 3tgx 3 0
tg 2x tgx 1 3 tgx 1 0
tg x 3 tgx 1 0
2
tg x 3 0,
tgx 1 0;
2
tg x 3,
tgx 1;
2
x arctg 3 πk , k Z ,
x π πn , n Z ;
4
Ответ :
tgx 3 ,
x π πn , n Z ;
4
π
x
πk , k Z ,
3
x π πn , n Z .
4
π
π
πn ; πk ; n , k Z .
4
3

16.

Пример 11
3 sin 2 3x 2 3 sin 3x cos 3x 5cos2 3x 2
cos2 3x sin 2 3x
3 sin 2 3x 2 3 sin 3x cos 3x 5 cos 2 3x 2 cos 2 3x sin 2 3x
3 sin 2 3x 2 3 sin 3x cos 3x 5cos2 3x 2cos2 3x 2sin 2 3x 0
sin 2 3x 2 3 sin 3x cos 3x 3cos2 3x 0
: cos2 3x
sin 2 3x 2 3 sin 3x cos 3x 3 cos 2 3x
0
2
2
2
cos 3x
cos 3x
cos 3x
tg 2 3x 2 3tg 3x 3 0
Вернемся к исходной переменной
Пусть tg 3x t , тогда
tg 3x 3
3x arctg 3 πn , n Z
t 2 2 3t 3 0
3 0
t 3 0
π
πn , n Z
3
π πn
x
,n Z
9
3
t 3
Ответ :
t 2 3t
2
t 3 0
2
2
3x
π πn
, n Z.
9
3