Исследование

1.

Математика
Преподаватели:
Кормилицына Елена Анатольевна,
Федотова Екатерина Алексеевна

2.

Тема 6.
Полное
исследование
функции

3.

План лекции
1. Односторонние пределы.
2. Точки разрыва.
3. Асимптоты.
4. Выпуклость функции.

4.

Непрерывность - одно из
основных свойств функций.
Решение о том, непрерывна
данная функция или нет,
позволяет судить о других
важных свойствах
исследуемой функции.

5.

Исследование функции на
непрерывность связанно с так
называемыми односторонними
пределами, т.е пределом слева и
справа.
Односторонние пределы
позволяют сделать вывод о
непрерывности функции.

6.

1. Односторонние пределы

7.

8.

9.

Пример
Вычислить односторонние
пределы в точке x 3
функции
f ( x) 2
1
x 3

10.

2. Точки разрыва
x
Опр. Точка
называется
0
точкой разрыва функции
f (x), если в этой точке
нарушается условие
непрерывности. В этом случае
говорят, что функция терпит
разрыв.

11.

Классификация точек разрыва
1. Точка x0 называется
точкой разрыва первого
рода функции f (x ) , если в
этой точке односторонние
пределы конечны и не равны
между собой.

12.

13.

x
2. Точка
называется
0
точкой разрыва второго
рода функции f (x ) , если в
этой точке, по крайней мере,
один из односторонних
пределов равен бесконечности
или не существует.

14.

15.

x
3. Точка
называется
0
точкой устранимого
разрыва функции f (x ) , если
в этой точке односторонние
пределы конечны и равны
между собой, но не равны
значению функции в этой точке
(функция м.б. не определена).

16.

17.

3. Асимптоты
Опр. Асимптотой графика
функции f (x ) называется
прямая линия, обладающая
тем свойством, что расстояние
от переменной точки на
графике до прямой стремится
к нулю

18.

при неограниченном
движении этой точки по
графику к бесконечности.
Асимптоты могут
быть вертикальными, наклон
ными и горизонтальными.

19.

x a
Опр. Прямая
называется вертикальной
асимптотой графика функции
f (x ) , если выполнено хотя
бы одно из условий
lim f ( x) ;
x a 0
lim f ( x) .
x a 0

20.

Другими словами, хотя бы
один из односторонних
пределов в точке
должен
быть равен бесконечности.
Есть связь вертикальной
асимптоты и точек разрыва
второго рода.
x a

21.

Замечание!
Если функция f (x ) в точке
терпит разрыв второго
рода, то прямая
является вертикальной
асимптотой функции f (x ).
a
x a

22.

Опр. Прямая y kx b
называется наклонной
асимптотой графика функции
f (x), если
lim ( f ( x) y ) 0
x

23.

На практике, вычисление
наклонной асимптоты
y=kx+b
сводится к отысканию
коэффициентов k и b , которые
определяются с помощью
следующей теоремы.

24.

Теорема(Необходимое и
достаточное условие
существования наклонной
асимптоты).
Для того, что бы прямая
y=kx+b
была наклонной асимптотой
графика функции f (x )

25.

при x , необходимо и
достаточно, чтобы
существовали два конечных
f ( x)
предела
lim
x
k;
x
lim ( f ( x) kx) b.
x

26.

Опр. Наклонная асимптота
называется горизонтальной,
если k=0. Таким образом
уравнение горизонтальной
асимптоты имеет вид
y=b .

27.

4. Выпуклость функции

28.

29.

30.

31.

32.

Алгоритм исследования
функции
1. Найти область определения
функции и точки пересечения
с осями Ox и Oy;
2. Определить характер
разрыва;

33.

3. Найти асимптоты;
4. Исследовать на
монотонность и экстремум;
5. Найти точку перегиба по
Теореме(необходимое условие
существования точки
перегиба);

34.

6. Исследовать на выпуклость
и вогнутость по
Теореме(достаточное условие
выпуклости);
7. Построить эскиз графика
функции.

35.

Пример
x ( x 2)
f ( x)
2
( x 1)
2

36.

СПАСИБО ЗА
ВНИМАНИЕ!