Тема_Предмет_теории_вероятностей

1. Тема. Предмет теории вероятностей. Комбинаторика и ее основные понятия

DIPLOMAT UNIVERSITY
PhD по экономическим наукам, доцент
Хазраткулова Лола Нармуминовна
Тема. Предмет теории вероятностей.
Комбинаторика и ее основные понятия
Ташкент 2024

2. Возникновение теории вероятностей как науки

относят к средним векам и первым попыткам
математического анализа азартных игр (орлянка,
кости, рулетка)
Само слово «азарт» (фр. «le hazard») означает
«случай»
Самые ранние работы учёных в области теории
вероятностей относятся к XVII веку

3.

Яков
Бернулли
(1654 - 1705)
Первое доказательство
одного из важнейших
положений теории
вероятностей – так
называемого закона
больших чисел
Количественные
закономерности
массовых явлений будут
явно проявляться только
при большом их числе

4.

Абрахам де Муавр
(1667 - 1754)
английский математик фран
цузского происхождения
Впервые ввел в
рассмотрение и обосновал
нормальный закон
(закон Гаусса)
Теоремы, обосновывающие
этот закон носят в теории
вероятностей общее
название «центральной
предельной теоремы»

5.

ПьерСимонЛаплас
(1749 - 1827)
впервые дал стройное и
систематическое
изложение основ теории
вероятностей
развил ряд
замечательных
приложений теории
вероятностей к анализу
ошибок наблюдений и
измерений

6.

Карл Фридрих
Гаусс
(1777 - 1855)
дал еще более общее
обоснование
нормальному закону
разработал метод
обработки
экспериментальных
данных, известный под
названием «метод
наименьших квадратов»

7.

Симеон Дени
Пуассон
(1781 - 1840)
впервые применил теорию
вероятностей к задачам
стрельбы
С его именем связан один
из законов распределения,
играющий большую роль
в теории вероятностей и
её приложениях

8.

XVIII и начало XIX века бурное развитие теории
вероятностей и повсеместное
увлечение ею
Теория вероятностей становится
«модной» наукой
Для этого периода характерны
многочисленные попытки
применить теорию вероятностей
к изучению общественных
явлений

9.

Виктор Яковлевич
Буняковский
(1804 - 1889)
автор первого курса
теории вероятностей на
русском языке
создатель современной
русской терминологии в
теории вероятностей,
автор оригинальных
исследований в области
статистики и демографии

10.

Пафнутий
Львович
Чебышев
(1821 - 1894)
дальнейшее
расширение и
обобщение закона
больших чисел
ввел в теорию
вероятностей весьма
мощный и
плодотворный метод
моментов

11.

Андрей
Андреевич
Марков
(1856 - 1922)
существенно
расширил область
применения закона
больших чисел и
центральной
предельной теоремы
заложил основы
совершенно новой ветви
теории вероятностей –
теории случайных, или
«стохастических»,
процессов

12.

Александр
Михайлович
Ляпунов
(1857 - 1918)
первое доказательство
центральной предельной
теоремы при
чрезвычайно общих
условиях
разработал специальный
метод
характеристических
функций, широко
применяемый в
современной теории
вероятностей

13. Теория вероятностей и математическая статистика

помогает принимать
решения в условиях
неопределённости,
направленные на
достижение поставленных
целей
раздел
математики,
изучающий
закономерности
случайных
явлений

14. Комбинаторика

Часто приходится составлять из
конечного числа элементов
различные комбинации и
производить подсчет числа всех
возможных комбинаций,
составленных по некоторому
правилу
Такие задачи получили название
комбинаторных, а раздел
математики , занимающийся их
решением, называется
комбинаторикой

15.

К началу XX в.
комбинаторика считалась
законченной частью
математики
В дальнейшем ее стали
воспринимать как первую главу
теории множеств, занимающуюся
конечными множествами
(их подмножествами,
отображениями друг на друга и т.п.)

16.

Основные понятия комбинаторики
Элементы комбинаторики
Имеется совокупность n объектов, назовем ее
генеральной совокупностью. Из генеральной совокупности
наудачу отбираем m объектов, эту отобранную совокупность
назовем выборкой.
Выборка может быть упорядоченной, если порядок
объектов (элементов) играет роль, и может быть
неупорядоченной, если порядок элементов роли не играет.
Выборка может быть без повторений, если элементы
повторяться не могут, и может быть с повторениями, если
элементы в выборке повторяются.

17.

Упорядоченная выборка из n элементов по m
называется размещением, неупорядоченная выборка из n
элементов по m называется сочетанием. Число
размещений и сочетаний c повторениями и без повторений
из n элементов по m можно найти из следующей таблицы:
Выборка
Без
повторений
С
повторениями
Упорядоченная
n!
m
An
(n m)!
m
n
А n
m
n!=1·2·3·... ·n,
Неупорядоченная
n!
C nm
m! ( n m )!
C nm
0!=1
( n m 1)!
m! ( n 1)!

18.

,
.
Если выбор элементов множества из Х
происходит с возвращением, т.е. каждый элемент
множества Х может быть выбран несколько раз, то
число размещений из n по k находится по формуле
(размещения с повторениями).
Если же выбор делается без возвращения,
т.е. каждый элемент множества Х можно выбирать
только один раз, то количество размещений из n по
k обозначается
и определяется равенством

19.

Задача 1. Сколькими способами можно выбрать из
студенческой группы в 25 человек троих на профсоюзную
конференцию?
Решение:
Студенческая
группа
–
генеральная
совокупность – ее объем n(A)=25, из нее извлекают выборку
объема k=3. Из условия задачи ясно, что важен только состав
(три студента выбирают), следовательно, число способов равно
числу сочетаний из 25 по 3:

20.

Задача 2. Сколькими способами можно избрать
треугольник студенческой группы (старосту, физорга,
профорга) в 25 человек?
Решение: Студенческая группа – генеральная
совокупность – ее объем n(A)=25, из нее извлекают выборку
объема k=3. Из условия задачи ясно, что важен не только
состав, но и порядок (распределение обязанностей),
следовательно, число способов равно числу размещений из
25 по 3

21.

Частный случай размещения
при n=k называется перестановкой
из n элементов. Число всех
перестановок из n элементов равно

22.

Задача 3. 30 книг стоит на книжной
полке, из них 27 различных книг и одного
автора три книги. Сколькими способами
можно расставить эти книги на полке так,
чтобы книги одного автора стояли рядом?
Решение: Будем считать три книги
одного автора за одну книгу, тогда число
перестановок будет
. А три книги можно
переставлять между собой
способами,
тогда по правилу произведения имеем, что
искомое число способов равно: * =3!*28!

23.

Задача 4. Пусть даны шесть цифр: 1; 2; 3; 4;
5; 6. Определить сколько трехзначных чисел
можно составить из этих цифр.
Решение: Если цифры могут повторяться, то
количество трехзначных чисел будет
Если цифры не повторяются, то

24.

При
решении
задач
комбинаторики
используют следующие правила:
Правило суммы. Если некоторый объект А
может быть выбран из совокупности объектов m
способами, а другой объект В может быть выбран n
способами, то выбрать либо А, либо В можно m + n
способами.
Правило произведения. Если объект А
можно выбрать из совокупности объектов m
способами и после каждого такого выбора объект В
можно выбрать n способами, то пара объектов (А, В)
в указанном порядке может быть выбрана m*n
способами.

25.

Задача 5. Наряд студентки состоит из блузки,
юбки и туфель. Девушка имеет в своем гардеробе
четыре блузки, пять юбок и трое туфель. Сколько
нарядов может иметь студентка?
Решение: Пусть сначала студентка выбирает
блузку. Этот выбор может быть совершен четырьмя
способами, так как студентка имеет четыре блузки,
затем пятью способами произойдет выбор юбки и
тремя способами выбор туфель. По принципу
умножения
получается
4*5*3=60
нарядов
(комбинаций).

26.

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ