Теория вероятностей и математическая статистика. Литература

1.

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

2. Литература

В.Е. ГМУРМАН
Теория вероятностей и
математическая статистика
Руководство к решению задач по
теории вероятностей и
математической статистике

3. Литература

Н.Ш.
Кремер
Теория вероятностей и математическая
статистика (любое издание)

4.

Лекция 1

5. Часть 1. Содержание

Предмет комбинаторики
Выборка
Факториал и его свойства
Перестановки
Размещения
Сочетания
Правила суммы и произведения

6. Комбинаторика

Комбинаторика – это раздел
математики, изучающий методы
подсчета вариантов перестановок,
комбинаций объектов различного рода,
выбора объектов из заданного
множества.

7. Комбинаторика

Основные понятия: перестановки,
размещения, сочетания
Комбинаторика изучает количества
комбинаций, подчиненных
определенным условиям, которые
можно составить из элементов
заданного конечного множества

8.

Выборка
Далее будем считать заданным
некоторое множество из n объектов
(цифр, букв, людей, предметов и т.д.)
Выборка – это объекты, которые по
определенному правилу выбираются из
заданного множества объектов.

9.

Выборка бывает:
Упорядоченная (множество цифр,
пронумерованные предметы,
разноцветные сигналы и т.д.)
Неупорядоченная (детали, столы,
стулья, идентичные предметы и
т.д.)

10. Факториал

Факториал числа – это функция,
определенная для любого целого
неотрицательного числа.
Обозначение:
n! (“эн факториал”)
n! 1 2 3 ... n

11.

Таким образом, n! есть
произведение всех натуральных
чисел от 1 до n.
В случае n=0 считается по
определению, что 0!=1

12. Примеры

5!=1·2·3·4·5=120
3!=1·2·3=6
7!=1·2·3·4·5·6·7=5040

13. Элементы комбинаторики

Правило суммы:
если объект А можно выбрать n
способами, а объект B можно
выбрать m способами, то объект
А или В можно выбрать m+n
способами.

14. Задача 1

В коробке лежат 5 красных, 2 синих, 1
черный и 2 белых шара. Сколькими
способами из коробки можно вытащить
один цветной шар?(цветной шар это
не белый и не черный)

15.

Решение
Красный шар можно вытащить
пятью способами, а синий двумя.
Так как цветной шар по условию
задачи это шар красного или
синего цветов, то получаем 5+2=7
способов

16. Задача 2

В группе студентов 3 человека изучали
французский язык, 4 немецкий, а 2
студента ничего не изучали. Сколькими
способами можно выбрать студента,
владеющего иностранным языком?

17. Решение

Студента, владеющего французским
языком можно выбрать тремя
способами (любой из них нам
подходит), владеющего немецким –
четырьмя способами. Двое студентов,
которые ничего не изучали нам не
подходят. Таким образом, всего
способов будет 3+4=7.

18.

Правило произведения:
если объект А можно выбрать n
способами, а объект B можно
выбрать m способами, то объект
А и В можно выбрать m n
способами.

19.

Задача 1
Имеется замок с шифром. Шифр
подбирается поворотом четырех
головок. Каждая головка может
занимать одно из шести положений:
1, 2, 3, 4, 5, 6. Каково количество
различных шифров, которые можно
установить на данном замке?

20. Решение

Любой шифр – последовательность из
четырех цифр, например, (1, 2, 3, 6)
или (6, 4, 1, 1) и т. д.
Каждое число последовательности
принимает одно из шести значений.
Сколько всего таких
последовательностей? Легко понять,
что их 6∙6∙6∙6=1296.

21. Задача 2

В буфете имеется 5 чашек и 4
блюдца. Сколькими способами
можно составить чайную пару?

22. Решение

Чайная пара – это чашка и блюдце.
Чашку можно выбрать пятью
способами, блюдце четырьмя. Так как
чайная пара – это чашка и блюдце
(говорим и), то способов 5·4=20

23.

Перестановками называют
комбинации, состоящие из одних и тех
же n различных элементов и
отличающиеся только порядком их
расположения.
Число всех возможных перестановок
Pn n ! (эн – факториал),
где Pn n ! 1 2 3 ... n
По определению, 0! = 1.

24.

Перестановка – это упорядоченная
выборка, в которой “выбираются”
(переставляются) все элементы
заданного множества.
Первые числа перестановок:
P1=1
P2=2
P3=6
P4=24
P5=120

25. Пример

Множество всех перестановок трех
предметов A, B, C:
{ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA}

26.

Задача 1
Сколькими способами можно
переставить на полке 7 различных
книг?
Решение
На первое место можно поставить
любую из семи книг. На второе место
можно поставить уже любую из
оставшихся шести книг. На третье из
пяти, и т.д. Таким образом, получаем
7!=7 6 5 4 3 2 1=5040 способов.

27. Задача 2

На карточках записаны цифры 1,2,3,4,5.
Сколько различных пятизначных чисел
можно составить, используя каждую
карточку один раз?

28. Решение

Так как цифры в пятизначном числе не
повторяются, а карточек всего 5, то мы
имеем дело с упорядоченной выборкой,
в которой участвуют все 5 элементов.
Это перестановки.
Получаем 5!=120 чисел.

29. Задача 3

Имеется 6 карточек с цифрами
0,1,2,3,4,5. Сколькими способами можно
составить шестизначные числа (цифры
в числе не повторяются)?

30. Решение

Всего из данных карточек можно
составить 6!=720 чисел. Но среди них
есть числа, у которых на первом месте
стоит цифра 0. Их нужно отбросить.
Таких чисел будет (если зафиксировать
0 на первом месте) 5!=120.
Тогда получаем 720-120=600 чисел.

31. Перестановки с повторениями

aaa..abbb..b...ccc..c
Пусть дана выборка
причем элемент a повторяется n1 раз,
элемент b повторяется n2 раз и т.д.
n1 n2 ... nk n
n!
P(n1 , n2 ,...nk )
n1 !n2 !...nk !

32.

Задача 1
Сколькими способами можно переставить буквы
в слове МАТЕМАТИКА?
Решение: буква М встречается 2 раза, буква Т –
2 раза, буква А – 3 раза, остальные буквы по
одной. Имеем
10!
P10
1512000
2!2!3!

33.

Задача 2
Какова вероятность того, что при
произвольном выкладывании 8 карточек,
среди которых 4 с буквой “О”, 2 – с “К”, 1 –
с “Л”, 1 – с “Т” получится слово
“ОКОЛОТОК”?
Решение:
Всего исходов
8
8!
P
840
4!2!
Благоприятных – 1. Получаем ответ
P(A)=1/840.

34.

Размещениями называют
комбинации, составленные из n
различных элементов по m элементов,
которые отличаются либо составом
элементов, либо их порядком. Число
всех возможных размещений
n!
A
n m !
m
n

35.

Задача 1
6 человек приобрели билеты на 10
местный самолет. Других пассажиров не
оказалось, и эти шестеро заняли места
в салоне случайным образом, не глядя
на обозначенные в билетах места.
Какова вероятность того, что каждый
окажется на своем месте?

36. Решение Это задача о размещениях. Вероятность совпадения – один шанс из числа всех возможных размещений шести элементов на

десяти местах.
10! 1 2 5 6 7
A
4!
1 2 3 4
5 6 7 8 9 10 151200
6
10
10

37. Размещения с повторениями

Имеется n типов предметов и имеется k
мест, на каждое из которых может быть
поставлен предмет любого типа.
Любой тип предмета может встретиться
в полученной последовательности
любое число раз, но порядок важен.

38.

Количество всевозможных размещений
с повторениями из n по k будем
обозначать
A
k
n
и вычислять по формуле
k
n
A n
k

39. Задача 1

Имеется таблица 2x2 клеток. В каждой
клетке может стоять крестик или нолик.
Сколькими способами можно заполнить
эту таблицу?

40. Решение

Всего в таблице четыре клетки (четыре
места, чтобы разместить крестики и
нолики). В каждой клетке может стоять как
крестик, так и нолик. То есть каждую
клетку можно заполнить двумя способами.
Так как крестики и нолики в таблице
повторяются, то имеем способов
2 16
4

41. Задача 2

Сколько существует
четырехсимвольных кодов (шифров
сейфа) с использованием только
цифр?
Решение
n=10; k=4. Поэтому различных кодов
будет
4
10 10000

42. Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним

элементом.
n!
C
m! n m !
m
n

43.

Сочетания – это неупорядоченная
выборка из n элементов по m.
Примеры
Выбрать из множества деталей две;
Выбрать из класса двух дежурных;
Выбрать лотерейный билет
и т.д.

44.

Задача 1
Сколькими способами можно выбрать
две детали из ящика, содержащего 10
деталей?
Искомое число способов
10! 9 10
C
45
2!8! 1 2
2
10

45. Задача 2

Сколько существует вариантов
составить делегацию в количестве
четырех человек из 10 кандидатов?

46. Решение

n=10; k=4
Выборка неупорядоченная
Количество различных делегаций
будет
10 9 8 7
C
210
4 3 2 1
4
10

47. В общем случае : пусть даны множества

A1 , A2 , , An
Чему равно N - число различных комбинаций, в
которых первый элемент принадлежит первому
множеству, второй – второму и так далее?
N k1k2
kn

48. Элементы комбинаторики

Правило суммы;
Правило произведения;
Перестановки;
Размещения;
Сочетания.

49.

Задачи

50. Задача 1

Порядок выступления шести участников
конкурса определяется жребием.
Сколько различных вариантов
жеребьевки приэтом возможно?

51. Решение

Так как варианты жеребьевки
различаются лишь порядком
выступления участников (выборка
упорядоченная), при этом участвуют
все конкурсанты, то число способов
будет равно числу перестановок на 6
элементах: 6!=720.

52. Задача 2

Брошены две игральные кости. Сколько
может быть различных комбинаций
выпавших граней?

53. Решение

У первого кубика 6 граней, может
выпасть любая из них. У второго кубика
тоже шесть граней, может выпасть
любая из них. Подбрасывается первый
и второй кубики. По правилу
произведения получаем 6·6=36
вариантов.

54. Задача 3

Сколькими способами из 10 роз и 8
георгинов можно составить букет
так, чтобы в нем было 2 розы и 3
георгина?

55. Решение

Вначале посчитаем сколькими способами из
10 роз можно выбрать 2. Розы не
упорядочены, значит количество способов
можно найти по формуле
10!
C
45
2!8!
2
10

56.

Далее, найдем число способов
выбрать из 8 георгинов 3. Аналогично
случаю с розами имеем
8!
C
56
3!5!
3
8
Наконец, букет это розы
значит 45·56=2520
и георгины,

57. Задача 4

Алфавит племени состоит из трех букв
А, О, У. Словом в племени считается
любая последовательность, состоящая
не более чем из трех букв. Сколько
слов в языке племени?

58. Решение

Слова в племени могут быть
однобуквенные, двухбуквенные и
трехбуквенные.
Однобуквенных слов всего 3.
Двухбуквенных (учитывая, что буквы
алфавита могут в слове повторяться)
будет 3·3=9
Трехбуквенных 3·3·3=27
Всего слов 3+9+27=39.

59. Задача 5

Наряд студентки состоит из блузки,
юбки и туфель. Девушка имеет в
гардеробе 4 блузки, 5 юбок и трое
туфель. Сколькими способами она
может составить себе наряд?

60. Решение

Блузку она может выбрать 4 способами,
юбку – 5, туфли – 3 способами.
Наряд – это блузка и юбка и туфли.
Таким образом, по правилу
произведения 4·5·3=60 нарядов.

61. Задача 6

Студенты университета изучают в
каждом семестре 10 дисциплин. В
расписание занятий включается каждый
день по 3 дисциплины. Сколько
различных расписаний может составить
диспетчерская?

62. Решение

Так как расписание на каждый день
отличается либо составом
дисциплин, либо порядком их
расположения, то мы имеем дело с
упорядоченной выборкой.
Количество расписаний можно
посчитать, используя формулу
размещений
3
10
A
720

63. Задача 7

В шахматном турнире участвуют 16
человек. Сколько партий должно быть
сыграно в турнире, если между любыми
двумя участниками должна быть
сыграна одна партия?

64. Решение

Каждая партия – это два участника,
отличается только состав. То есть,
выборка неупорядоченная.
Количество партий можно найти,
используя формулу сочетаний
2
16
C
120

65. Задача 8

Имеется группа студентов, в которой 10
человек изучают английский язык и 12
человек – французский. Сколькими
способами можно составить группу из
пяти человек, изучающих один и тот же
язык?

66. Решение

Составить группу из пяти человек, все
из которых изучают один и тот же язык,
означает “все изучают французский” или
“все изучают английский”. И то, и другое
одновременно произойти не может,
поэтому
C C 1170
5
10
5
12

67. Задача 9

Имеется группа студентов, в которой 10
человек изучают английский язык, 12
человек – французский. Сколькими
способами можно составить группу из
пяти человек, в которой три изучают
английский и два – французский?

68. Решение

Составить группу из пяти человек, в
которой три изучают английский, а
два – французский, означает, что три
человека выбираются из английской
подгруппы, а два – из французской.
Подгруппы – это разные множества, а
оба выбора осуществляются
одновременно, поэтому
C C 7920
3
10
2
12

69. Контрольные вопросы к части 1

Понятие факториала числа
Определение и формула перестановок
Формула перестановок с повторениями
Определение и формула размещений
Формула размещений с повторениями
Определение и формула сочетаний
Правило суммы. Пример
Правило произведения. Пример

70. Часть 2. Содержание

Предмет ТВ
Случайное событие
Вероятность события, классическое
определение вероятности

71.

Теория вероятностей (ТВ) – раздел
математики, изучающий
закономерности, присущие массовым
случайным явлениям. При этом
изучаемые явления рассматриваются в
абстрактной форме, независимо от их
конкретной природы.

72.

Предмет ТВ
Предметом теории
вероятностей является
изучение вероятностных
закономерностей массовых
однородных случайных
событий.

73.

Цель ТВ – осуществление прогноза в
области случайных явлений, контроль
их, ограничение сферы действия
случайности.

74.

Случайный эксперимент
Случайным экспериментом
называется некоторый опыт,
который может быть неоднократно
проведен при одних и тех же
условиях, в результате которого
могут произойти или не произойти
некоторые случайные события.

75. Случайное событие

Событием в ТВ называется любой факт,
который в результате испытания,
эксперимента, опыта может произойти
или не произойти.

76.

Иногда подчеркивают, что случайное
событие – это такое событие,
наступление которого мы не можем в
точности предвидеть из-за незнания
причин, вызывающих его, или событие,
которое не обязательно происходит.
Событие – это не происшествие, а
теоретический возможный исход
эксперимента.

77.

СЛУЧАЙНОЕ СОБЫТИЕ
Случайным событием будем
называть высказывание о
результатах случайного
эксперимента.
A={ высказывание}

78.

Примеры
Бросание монеты – эксперимент
A={выпал герб}
B={выпала решка}
2) Бросание игральной кости
A={выпало 2 очка}
B={выпало более чем 4 очка}
C={выпало четное число очков}
1)

79.

3)
4)
5)
6)
7)
Стрельба по мишени
Вынимание шаров из урны
Различные игры (карты, домино и т.д.)
Экономические случайные
эксперименты
Медицинские эксперименты

80.

Виды случайных событий
1)
2)
3)
4)
5)
Невозможные
Достоверные
Несовместные
Образующие полную группу
3) и 4) вместе

81.

Событие называется невозможным,
если оно никогда не может произойти.
Пример
Событие “сейчас в аудитории пойдет
град” - невозможное

82.

Событие называется достоверным, если
оно происходит при любом исходе
эксперимента (происходит всегда).

83.

События называются
несовместными, если они не
могут произойти одновременно.
События, которые могут
происходить одновременно,
называются совместными.

84.

Несколько событий называются
единственно возможными, если
хотя бы одно из них обязательно
произойдет.

85.

Несколько событий образуют полную
группу, если они являются
единственно возможными и все попарно
несовместны.
Другими словами, события образуют
полную группу, если в результате
испытания заведомо происходит одно и
только одно из них.

86.

Пример 1
Из ящика с деталями
наудачу извлечена
деталь. Появление
стандартной детали
исключает появление
нестандартной детали.
События «появилась стандартная
деталь» и «появилась нестандартная
деталь» – несовместные.

87.

Пример 2
Брошена монета.
Появление “ герба “
исключает
появление надписи.
События «появился герб» и
«появилась надпись» –
несовместные.

88.

Пример 3
Приобретены два билета денежно –
вещевой лотереи. Обязательно
произойдет одно и только одно из
следующих событий: «выигрыш выпал
на первый билет и не выпал на
второй», «выигрыш не выпал на
первый билет и выпал на второй»,
«выигрыш выпал на оба билета» , «на
оба билета выигрыш не выпал».Эти
события образуют полную группу
попарно несовместных событий.

89.

Пример 4
Стрелок произвел
выстрел по цели.
Обязательно
произойдет одно из
следующих событий:
попадание, промах.
Эти два несовместных события
образуют полную группу.

90.

Равновозможные события
События называют
равновозможными, если
нет оснований считать, что
одно из них происходит
чаще, чем другое.

91.

Пример 5
Появление “ герба “ и
появление надписи при
бросании монеты –
равновозможные
события.

92.

Пример 6
Появление того или
иного числа очков на
брошенной игральной
кости - равновозможные
события.

93.

Задание
Приведите примеры на все данные
определения.

94.

Классическое определение
вероятности
Пример. Пусть в урне
содержится 6 одинаковых,
тщательно перемешанных
шаров, причем 2 красных,
3 синих и белый. Вынут
один шар. Чему равна
вероятность, что вынут
цветной шар?

95.

Вероятность есть число,
характеризующее
частоту появления
события.

96.

Событие A ={появление цветного
шара}.
Каждый из простейших результатов
испытания назовём элементарным
исходом (элементарным событием).
Обозначение:
i ,i 1, 2,.., 6

97.

6 элементарных исходов:
1
2, 3
4 , 5, 6
- белый шар;
- красный шар;
- синий шар.
Эти исходы образуют полную группу
попарно несовместных событий и они
равновозможные.

98.

Те элементарные исходы, в которых
интересующее нас событие наступает,
назовём благоприятствующими.
Благоприятствуют событию А
(появлению цветного шара) 5 исходов:
2, 3, 4, 5, 6.

99.

Отношение числа
благоприятствующих событию
А элементарных исходов к их
общему числу назовем
вероятностью события А и
обозначим
Р(А)

100.

Вероятность того, что взятый шар
окажется цветным, равна
Р (А)=
5
6
.

101.

Классическое определение
вероятности
Классической вероятностью
события А называют отношение
числа благоприятствующих
этому событию исходов к
общему числу всех
равновозможных несовместных
элементарных исходов,
образующих полную группу.

102.

Формула классической
вероятности
m
P ( A)
n
m – число элементарных исходов,
благоприятствующих А;
n – число всех возможных
элементарных исходов испытания.

103.

Свойства вероятности
Свойство 1. Вероятность
достоверного события равна
единице.
m n
Р( А) 1
n n

104.

Свойство 2. Вероятность
невозможного события равна
нулю.
m 0
Р( А) 0
n n

105.

Свойство 3. Вероятность
случайного события А есть
положительное число, заключенное
между нулем и единицей.
m
0 P ( A)
1
n

106.

Важно!
Если количество всех исходов
бесконечно, то классическое
определение не годится, но
перечисленные свойства
сохраняются.

107. Примеры непосредственного вычисления вероятностей

Пример 1
Набирая номер
телефона, абонент
забыл одну цифру и
набрал ее наудачу.
Найти вероятность того, что
набрана нужная цифра.

108.

Решение
Обозначим через А событие –
набрана нужная цифра. Абонент мог
выбрать любую из 10 цифр, поэтому
общее число возможных элементарных
исходов равно 10.
Эти исходы несовместны,
равновозможны и образуют
полную группу.

109.

Благоприятствует событию А лишь
один исход (нужная цифра лишь
одна).
Искомая вероятность равна
отношению числа исходов,
благоприятствующих событию,
к числу всех элементарных
исходов:
1
P ( A)
10

110.

Пример 2
Набирая номер
телефона, абонент
забыл две последние
цифры и, помня лишь,
что эти цифры
различны, набрал их
наудачу.
Найти вероятность того, что набраны
нужные цифры.

111.

Решение
Обозначим через В событие –
набраны две нужные цифры.
Всего можно набрать столько
различных цифр, сколько может
быть составлено размещений из
десяти цифр по две, т. е.
2
A10
10 9 90

112.

Благоприятствует событию А лишь один
исход .
Искомая вероятность равна
отношению числа исходов,
благоприятствующих событию, к
числу всех элементарных исходов:
1
P( A)
90

113.

Пример 3
Указать ошибку “решения” задачи:
«Брошены две игральные кости.
Найти вероятность того, что сумма
выпавших очков равна 4 (событие А)».

114.

Решение (не правильное)
Возможны два исхода испытания:
-сумма выпавших очков равна 4;
сумма выпавших очков не равна 4. Событию
А благоприятствует один исход; общее
число исходов равно 2.
1
P ( A)
2
- искомая вероятность

115.

Правильное решение
Общее число равновозможных
исходов: 6 6 36 .
Среди этих исходов благоприятствуют
событию А только 3 исхода: (1;3),
(3;1), (2;2) (в скобках указаны числа
выпавших очков).
3
1
P( A)
36 12
искомая вероятность.

116.

Задачи

117. Задача 1

Задумано двузначное число. Найти
вероятность того, что задуманным
числом окажется случайно названное
двузначное число, цифры которого
одинаковы.

118. Решение

Всего двузначных чисел 90. То есть
общее число исходов n=90.
Среди двузначных чисел выпишем те, у
которых обе цифры одинаковы
{11,22,33,44,55,66,77,88,99}
Таким образом, благоприятных исходов
m=9 и искомая вероятность
P(A)=9/90=1/10

119. Задача 2

Пятитомное собрание сочинений стоит
на полке в случайном порядке. Какова
вероятность, что книги стоят в порядке
нумерации томов?

120. Решение

Благоприятный исход у нас один (когда
книги стоят по порядку), m=1.
Общее число всех возможных исходов –
это все варианты перестановки книг на
полке. То есть n=5!=120.
Тогда искомая вероятность
P(A)=1/120

121. Задача 3

Буквы Т,Е,Я,И,Р,О написаны на
отдельных карточках. Ребенок берет
карточки в случайном порядке и
прикладывает одна к другой. Какова
вероятность, что получится слово
ТЕОРИЯ?

122. Решение

Благоприятный исход у нас один, когда
получилось слово ТЕОРИЯ, то есть m=1.
Общее число исходов совпадает с
количеством всех перестановок на
шести буквах, то есть n=6!=720
Тогда вероятность P(A)=1/720

123. Задача 4

В ящике 15 деталей, среди которых 10
окрашенных. Наудачу вынимают 3
детали. Найти вероятность того, что все
извлеченные детали окажутся
окрашенными.

124. Решение

Так как все детали одинаковы, то мы
имеем дело с неупорядоченной
выборкой.
Общее число всех исходов n –
сколькими способами из 15 деталей
можно вытащить 3 детали. Это число
сочетаний
15!
C
455
3!12!
3
15

125.

Благоприятные исходы m – сколькими
способами из 10 окрашенных деталей
можно вытащить 3 окрашенных
детали.
Вновь имеем дело с формулой
сочетаний
10!
C
120
3!7!
3
10
Искомая вероятность P(A)=120/455

126. Задача 5

Имеется 5 билетов стоимостью по 1
рублю, 3 билета по 3 рубля, 2 билета по
5 рублей. Наугад берут 3 билета.
Какова вероятность того, что все 3
билета стоят вместе 7 рублей?

127. Решение

Благоприятные исходы – это те, когда в
сумме можно получить из трех билетов
7 рублей. Это возможно, если стоимость
билетов 5+1+1 (один билет за 5 руб. и
два по 1 руб.) или 3+3+1 (два билета
по 3 руб. и один за 1 руб.)

128.

Учитывая, что все билеты внешне одинаковы
(неупорядоченная выборка), благоприятных
исходов будет
m C C C C 35
2
5
1
2
2
3
1
5
Всего имеется 5+3+2=10 билетов. Общее
число исходов n – сколькими способами из 10
билетов можно взять 3 билета. То есть
общее число исходов .
C 120
3
10

129.

Искомая вероятность равна отношению
благоприятных исходов к общему числу
исходов, то есть
P(A)=35/120

130.

Задача 6
В партии из 10 деталей 7
стандартных. Найти вероятность того,
что среди шести взятых наудачу
деталей 4 стандартных.

131. Решение

Общее число возможных элементарных
исходов испытания равно числу
способов, которыми можно извлечь
шесть деталей из 10, т. е. числу
сочетаний из 10 элементов по 6
элементов
6
( C10 )

132.

Число благоприятствующих
исходов равно
4
2
C7 C3
P( A)
4
2
C7 C3
6
C10
1
2

133. Задача 7

Участники жеребьевки тянут из ящика
жетоны с номерами от 1 до 100. Найти
вероятность, что номер первого,
наудачу извлеченного жетона не
содержит цифры 5.

134. Решение

Так как всего жетонов 100, то общее
число исходов n=100.
Благоприятными исходами будут те,
когда число не содержит цифры 5.
Выпишем все числа от 1до 100 с
цифрой 5 – это {5,15,25,35,45,50,51,52,
53,54,55,56,57,58,59,65,75,85,95}

135.

Таких чисел 19. Тогда чисел без цифры
5 будет 100-19=81. То есть
благоприятных исходов m=81.
Искомая вероятность
P(A)=81/100

136. Контрольные вопросы к части 2

Что называется случайным событием?
Классическое определение вероятности
события (элементарные исходы,
благоприятные исходы)
Достоверное и невозможное события
Три основных свойства вероятности
Совместные и несовместные события,
единственно возможные события,
полная группа

137.

Конец лекции 1