Лек 5

1. Лекция 5

Доверительный интервал для
математического ожидания случайной
величины при неизвестной дисперсии
и малой выборке

2.

Определим доверительный интервал для
математического ожидания нормально
распределенной случайной величины при
неизвестной дисперсии и малой выборке
(объем выборки n < 30 ) по доверительной
вероятности γ .

3.

Для построения доверительного интервала
используем распределение Стьюдента c (n -1)
степенями свободы:

4.

Теорема 1. Если элементы выборки {x1, x2,..., xn},
независимы и каждый из них распределяется
нормально с параметрами (a,σ2), то случайная
величина
имеет распределение Стьюдента с (n -1)
степенями свободы.

5.

из теоремы =>

6.

Итак, для нахождения границ доверительного
интервала для математического ожидания а,
отвечающего доверительной вероятности γ, введем
вспомогательную случайную величину
где DB находится по выборке.

7.

С одной стороны, имеем
с другой —

8.

Из условия
находим квантиль tγ.
Искомый интервал для математического
ожидания а получен:

9.

Задача 7
На контрольных испытаниях случайно выбранных из партии
15 осветительных ламп были определены средняя
продолжительность работы лампы
= 3000 ч и
среднеквадратическое отклонение σ = 20 ч.
Найти с вероятностью γ =0,99 доверительный интервал для
средней продолжительности работы лампы в целом для
партии.

10.

Решение
Поскольку объем выборки n =15 , что меньше 30, то выборка
— малая.
Доверительный интервал для средней продолжительности
службы лампы во всей партии (генеральная средняя —
математическое ожидание a) определяется неравенством

11.

По таблице распределения Стьюдента:
при γ = 0,99,
n–1 = 15–1 = 14 имеем квантиль tγ =2,98.

12.

13.

Вычислим:
Тогда получим:
Итак, доверительный интервал для математического
ожидания a :
3000-15,94<a<3000+15,94 ,
или
2984,06<a<3015,94 .

14.

Т.о., с вероятностью 0,99 можно утверждать, что средняя
продолжительность службы лампы для всей партии
колеблется в пределах от 2984,06 до 3015,94 ч.

15.

Доверительный интервал для дисперсии случайной
величины с неизвестным математическим ожиданием
Построим доверительный интервал для дисперсии
случайной величины с нормальным распределением при
неизвестном математическом ожидании.
Задача 8
Определить доверительный интервал для дисперсии
нормально распределенной случайной величины с
неизвестным математическим ожиданием по доверительной
вероятности γ.
Задача решается с помощью распределения χ2 с (n -1)
степенями свободы:

16.

Теорема 2.
Если элементы выборки {x1, x2, …, xn } независимы и каждый
из них распределяется нормально с параметрами (a, σ2 ),
то
и DB — независимы,
причем
распределено нормально с параметрами (a, σ2/n),
случайная величина
имеет распределение χ2 с (n -1) степенями свободы.

17.

По теореме 2
Величины χ12, χ22 находятся из уравнений

18.

После подстановки
в неравенство
получаем

19.

Искомый интервал для математического ожидания σ2:

20.

Доверительный интервал для вероятности успеха в схеме
Бернулли и параметра λ распределения Пуассона
Определим доверительный интервал для вероятности успеха
в схеме Бернулли.
Задача 9
Пусть в n независимых испытаниях успех наступил x раз.
Найти доверительный интервал для вероятности p успеха в
одном испытании по доверительной вероятности γ .

21.

Решение
Рассмотрим случай, когда n — велико. Тогда эффективной
оценкой вероятности p успеха в одном испытании является
относительная частота успеха
По теореме Муавра-Лапласа относительная частота w имеет
нормальное распределение с параметрами

22.

Рассмотрим вспомогательную случайную величину
которая, следовательно, имеет стандартное распределение
независимо от значения p.
При больших n тогда имеем:

23.

Найдем из этого приближенного равенства квантиль uγ (прил.
1 или с помощью компьютерных вычислений).

24.

25.

26.

27.

Решая неравенство
относительно p, получим, что с вероятностью ≈ γ
выполняется следующее условие:

28.

Заменяя значения p и q в левой и правой частях этого
неравенства их оценками p* =w и q* =1-w,
получаем, что доверительный интервал для вероятности
успеха в схеме Бернулли приближенно имеет вид

29.

Задача 10
Пусть {x1, x2, …, xn } — выборка из генеральной
совокупности, имеющей распределение Пуассона с
неизвестным параметром λ :
где x принимает неотрицательные целочисленные значения
x =0,1,2, ... .
Найти доверительный интервал для параметра λ по
доверительной вероятности γ .

30.

Решение
Рассмотрим случай, когда n — велико.
Тогда доверительный интервал для параметра λ приближенно
имеет вид
где
— выборочное среднее;
uγ — квантиль стандартного распределения.