Выборка и эмпирические распределения. Функции распределения (лекция 2)

1.

Лекция 2
Выборка и эмпирические распределения.
Функции распределения.

2.

Генеральной совокупностью называется множество всех возможных
значений случайной величины Х, распределенной по закону F .
Выборочной совокупностью или выборкой объема n из генеральной
Совокупности называется множество {x1, x2 ,…, xn} отдельных значений
случайной величины Х, полученных в серии из n независимых
экспериментов (наблюдений).
Вариационным рядом называется выборка (x (1),x(2),….,x(n)), в которой
элементы упорядочены по возрастанию. В вариационном ряду
некоторые элементы могут совпадать. Совпадающие элементы
объединяют в группы:
1.
2.
Группировка случайных величин
Определяется диапазон выборочных значений
от самого
меньшего до самого большого;
Диапазон разбивается на k интервалов. Интервалы могут быть
раными или неравными между собой. Шаг интервалов
вычисляются по формуле Стерджеса:

3.

, где начало первого
3. Подыскивается число выборочных значений, попавшее в каждый
интервал ni ( i - номер интервала).
Сумма
называется Объёмом выборки.
4.
Подсчитываются частоты интервалов
, где
5.
Находят середины интервалов
и составляют таблицу, в
которую заносят середины интервалов и частоты ωi.
Совокупность пар чисел
, где
–
наблюдаемые, неповторяющиеся (для непрерывного распределения) в
выборке значения, а ni - число этих значений в выборке,
называется статистическим рядом абсолютных частот.
Совокупность пар чисел
,
, где
статистическим рядом относительных частот.
Совокупность пар чисел
рядом накопленных частот.
называется
называется
статистическим

4.

Статистический ряд представлен в виде таблицы:
Пример составления статистического ряда.
Получены результаты измерений:
178,160,154,183,155,153,167,186,163,155,157,175,170,166,159,173,182,16
7,171,169,179,165,156,186,158,171,175,173,184,172
1. Xmin= 153, Xmax=186
2. Шаг разбиения выборки
Округляем до целых тогда
3. Исходные данные разбиваем на 6 интервалов:
4. Подсчитываем число студентов (ni) , попавших в каждый из
полученных промежутков, собираем данные в
интервальный
статистический ряд:

5.

Эмпирической функцией распределения, полученной по выборке
{x1,x2,…,xn}, называется функция, при каждом x∈R равная:
есть ступенчатая функция.
Она представляется оценкой функции распределения вероятностей
генеральной совокупности X, из которой сделана выборка, и
используется для определения ее параметров.
Если известно, что искомая функция распределения вероятностей
генеральной совокупности F(x) принадлежит известному классу
функций, то, в этом случае построение эмпирической функции
сводится к определению вектора коэффициентов (параметров) этой
функции.

6.

Числовые характеристики выборки
1. Выборочное среднее:
2. Выборочная дисперсия
3. Несмещенная выборочная дисперсия
4. Выборочные начальные и центральные моменты
5. Выборочная медиана x* – это среднее значение вариационного ряда
6. Выборочная квантиль xp порядка p равна

7.

Различаются два вида распределения случайной
величины:
• Дискретные распределения;
• Непрерывные распределения.

8.

Дискретные распределения.
1. Биномиальное распределение- это дискретное распределение
случайной величины Х, принимающей целочисленные значения
k=0,1,…,n. Оно характеризуется двумя параметрами: целым число
n>0, называемым числом испытаний, и вещественным числом P
(0<p<1), называемым вероятностью успеха в одном испытании.
Функция биноминального распределения имеет вид :
Начальные моменты распределения:
Центральные моменты могут быть вычислены по формуле

9.

Дисперсия D( X ) np(1 p ) .
Мода
m p(n 1) 1 x p(n 1)
Коэффициент асимметрии
Коэффициент эксцесса
2.
Распределение Пуассона. Случайная величина X имеет
распределение Пуассона с параметром λ (λ >0), если она принимает
только целые неотрицательные значения с вероятностями
P( X x)
x
x!
e
( x 0,1,2,....)
m
e , x 0
Функция распределения имеет вид: F ( x) m x m !
0
x 0

10.

Моменты распределения: M ( X ) ,
M ( X 2 ) 2 , D( X )
Центральные моменты могут быть вычислены по формуле
k 2
k C j
j 0
j
k 1
k 1 k k 1
или
Начальные моменты распределения: для
d k
d
k 1
k 1
M ( X ) C kj 1 M ( X j )
k
j 0
Коэффициент асимметрии S r
Коэффициент эксцесса
Er
1
1
Распределение Пуассона может использоваться как модель для
описания случайного числа появления ожидаемых событий в
фиксированном промежутке времени или в фиксированной области
пространства.

11.

Непрерывные распределения
1.
Нормальное распределение

12.

2. Равномерное распределение
Равномерному распределению подчиняются случайные величины,
имеющие одинаковую вероятность появления (пример: погрешность
измерений с округлением).

13.

14.

3.

15.

4. Распределение Стьюдента (t-распределение)

16.

Если y – нормальная распределенная случайная величина с нулевым
средним и единичной дисперсией, а независимая от нее случайная
величина