42.03M

Category: $mathematics$ mathematics

Тригономентрия1

14.

§2. Тригонометрические формулы одного
аргумента
sin cos 1
2
2
Из теоремы Пифагора следует, что
ОB2+BM2=OM2 x2+y2=r2
2
2
x y
1
r r
cos sin 1 (2.1)
2
2
14

Непосредственно из определений следуют
соотношения
(2.2)
tg ctg 1
Из основного тригонометрического
тождества следует, что
1
2
(2.3)
1 tg
2
cos
1
1 ctg 2
sin
2
(2.4)
Докажем равенство (2.3)
1
sin 2
1
cos2 sin 2
2
1 tg 1
cos2
cos 2
cos2
15

16.

Из основного тригонометрического
тождества получаем,
2
cos 1 sin
тогда из определения тангенса
sin
tg
n, n Z
для
1 sin
2
2
(2.5)
(2.6)
В формулах (2.5), (2.6) «+» ставим, если угол
из I или IV четвертей (там, где
положителен косинус), в остальных
случаях ставим минус.
16

17.

Аналогично
2
(2.7)
n, n Z
(2.8)
sin 1 cos
и
1 cos2
tg
cos
для
2
В формулах (2.7), (2.8) «+» ставим, если угол
из I или II четвертей (там, где
положителен sin ), в остальных случаях
ставим минус.
17

18.

Из формул (2.3), (2.4) следует
1
cos
1 tg 2
(2.9)
1
sin
1 ctg 2
(2.10)
2
2
§3 Формулы приведения
Формулами приведения называются
тождества, связывающие
тригонометрические функции аргументов
18

19.

2
, ,
3
2
с функциями аргумента .
Первая группа:
sin cos ,
2
sin cos ,
2
cos sin ,
2
cos sin ,
2
tg ctg ,
2
(3.1)
tg ctg ,
2
ctg tg
2
ctg tg
2
19

20.

Вторая группа:
sin sin ,
sin sin ,
cos cos ,
cos cos ,
(3.2)
tg tg ,
tg tg ,
ctg ctg ,
ctg ctg .
20

21.

Третья группа
3
sin
cos ,
2
3
sin
cos ,
2
3
cos
sin ,
2
3
cos
sin ,
2
(3.3)
3
tg
ctg ,
2
3
tg
ctg ,
2
3
ctg
tg ,
2
3
ctg
tg .
2
21

22.

Правило для определения названия функции
если откладывается от горизонтального
диаметра ( , вторая группа формул), то
название приводимой функции не меняется
если же откладывается от
горизонтального диаметра
3
или
2
2
(первая и третья группа формул), то
название приводимой функции заменятся
на кофункцию
22

23.

Правило для определения знака функции
какой знак + или – имеет приводимая
функция в соответствующей четверти,
такой знак и ставится в правой части
формулы приведения.
23

24.

Анимация прив_1
24

25.

Прямоугольные треугольники ONM и OLP
равны по углу и гипотенузе .
Из треугольника ONM находим cos =b; из
треугольника OLP находим cos( + )=-b,
откуда непосредственно следует равенство
cos cos
25

26.

Прив_2
26

27.

Прив_3
27

28.

§4 Тригонометрические формулы суммы и
разности двух углов
Теорема 4.1. Для любых двух углов и
справедлива формула
(4.1)
cos cos cos sin sin
28

29.

Анимация суммы углов
29

30.

Основные определения
30

31.

Основные определения
31

32.

В силу определения тригонометрических
функций координаты этих точек
А(cos ;sin ), B(cos ;sin ). Тогда
координаты двух единичных векторов
OA cos ; sin
OB cos ; sin
32

33.

По определению
OA OB OA OB cos 1 1 cos
(4.2)
По формуле вычисления скалярного
произведения по известным координатам
векторов
OA OB cos cos sin sin (4.3)
Сравнивая правые части формул (4.2) и (4.3),
приходим к справедливости формулы (4.1),
которую в силу четности косинуса можно
записать в виде
cos cos cos sin sin (4.1 )
33

34.

Теорема 4.2. Для любых двух углов
справедлива формула
(4.4)
cos cos cos sin sin
Воспользуемся формулой (4.1 ), где заменим
на – , получаем
cos ( ) cos cos( ) sin sin( )
С учетом четности косинуса и нечетности
синуса получим формулу (4.4)
Следствие Справедлива формула косинуса
двойного угла
(4.5)
cos 2 cos2 sin 2
34

35.

Теорема 4.3. Для любых двух углов
справедлива формула
sin sin cos cos sin
(4.6)
Воспользуемся формулами приведения
sin cos cos
2
2
cos cos sin sin
2
2
sin
sin cos cos sin
cos
Следствие: Имеет место формула синуса
двойного угла
(4.7)
sin 2 2 sin cos
35

36.

Следствие получается при .
Заменив, на – , и учитывая четность и
нечетность функций, получим формулу
синуса разности
sin sin cos cos sin (4.8)
Теорема 4.4. Для любых двух углов и ,
таких что
2k 1 , k Z ;
2
2m 1 , m Z ;
справедлива формула
2
tg tg
tg
1 tg tg
2n 1 , n Z
2
(4.9)
36

37.

По определению тангенса, а также с учетом
формул синуса и косинуса суммы получаем
tg
sin sin cos cos sin
: cos cos
cos cos cos sin sin
: cos cos
sin cos cos sin
sin sin
tg tg
cos cos cos cos
cos cos
cos cos sin sin
sin sin 1 tg tg
1
cos cos cos cos
cos cos
Следствие.
2tg
tg 2
1 tg 2
(4.10)
Теорема 4.5. Для любых двух углов и ,
таких что
2k 1 , k Z ;
2
2m 1
2
2
n
1
, n Z
, m Z;
2
37

38.

справедлива формула
tg
а также формулы
tg tg
1 tg tg
ctg ctg 1
ctg
ctg ctg
ctg ctg 1
ctg
ctg ctg
(4.11)
(4.12)
(4.13)
38

39.

§5 Тригонометрические формулы двойного и
половинного угла
Тригонометрические формулы двойного угла
следуют из материала предыдущего
параграфа
cos 2 cos2 sin 2 ;
sin 2 2 sin cos ;
2tg
tg 2
1 tg 2
ctg 2 1
ctg 2
2ctg
39

40.

Рассмотрим два тождества:
1 cos
2
2
sin
2
2
(5.1)
,
и косинус двойного угла для :
cos cos
2
2
sin
2
2
.
(5.2)
Складывая их почленно, получаем
1 cos 2 cos
2
2
1 cos
cos
2
2
2
(5.3)
Вычитаем из (5.1) (5.2), получаем
1 cos 2 sin
2
2
40

41.

1 cos
sin
2
2
2
(5.4)
Разделим (5.4) на (5.3), получаем
tg 2
2
1 cos
1 cos
(5.5)
Если разделить равенство (5.3) на (5.4),
получаем
1 cos
ctg
2 1 cos
2
(5.6)
Можно получить и другие формулы для
вычисления тангенса половинного угла:
tg
2
sin
cos
2
2
sin
2
2 sin
2
cos 2 sin
2
2
2 sin 2
2 1 cos
sin
sin
sin
41

42.

1 cos
tg
2
sin
Т.е.
(5.7)
Аналогичным образом выводится формула
sin
(5.8)
tg
2 1 cos
§6 Выражение тригонометрических функций
через тангенс половинного угла
sin 2 sin
2
cos
2
2 sin
2
1
cos
2
2
2
sin
cos
:
cos
2 sin cos
2tg
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
cos 2 sin 2
1
tg
sin
cos
: cos
2
2
2
2
2
2
42

43.

Таким образом, получили формулу
sin
2tg
1 tg
(6.1)
2
2
2
Запишем формулу косинуса двойного угла
cos cos
2
2
sin
2
2
cos
2
cos
2
2
2
sin
2
sin
2
2
2
2
2
cos
sin
:
cos
1 tg 2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
tg
sin
cos
: cos
2
2
2
2
cos
1 tg 2
1 tg 2
2
2
2
(6.2)
43

44.

Разделив, соотношение (6.1) на (6.2),
получаем
tg
2tg
1 tg
2
2
(6.3)
2
§7 Формулы суммы и разности
тригонометрических функций
Запишем формулы синуса суммы и
разности в новых обозначениях
sin u v sin u cos v cos u sin v
sin u v sin u cos v cos u sin v
44

45.

sin u v sin u v 2 sin u cos v
(7.1)
sin u v sin u v 2 cos u sin v (7.2)
Вводим обозначения
u
,
u v ,
2u ,
2
u v
2 v
v .
2
(7.3)
sin sin 2 sin
cos
2
2
(7.4)
sin sin 2 sin
cos
2
2
(7.5)
45

46.

По аналогии, запишем формулы косинуса
сумы и разности двух аргументов
cos u v cos u cos v sin u sin v
cos u v cos u cos v sin u sin v
Складываем и вычитаем эти выражения
cos u v cos u v 2 cos u cos v
cos u v cos u v 2 sin u sin v
В обозначениях (7.3) последние два равенства
примут вид
cos cos 2 cos
cos
(7.6)
2
2
(7.7)
cos cos 2 sin
sin
2
2
46