Системы линейных однородных уравнений (СЛОУ)

1. Системы линейных однородных уравнений (СЛОУ)

Рассмотрим систему m линейных однородных уравнений с n
неизвестными, т.е. систему вида AX = 0
a11 x1
a x
21 1
am1 x1
a12 x2
a22 x2
a1n xn
a2 n xn
0,
0,
am 2 x2
amn xn
0.
1. Всегда совместна.
2. Если rang=n, то решение единственное: x1 = x2 = … = xn = 0
называют нулевым (тривиальным).
Достаточное условие только тривиального решения: detA≠0
3. Если
а) m = n и |A| = 0
или
б) m < n , то r(A)<n .
Следовательно, система имеет множество решений
(нетривиальные решения)

2.

ТЕОРЕМА. Линейная комбинация конечного числа решений
системы линейных однородных уравнений тоже является
решением этой системы.
Док-во: пропустить 10 клеточек
ТЕОРЕМА. Пусть r – ранг матрицы СЛОУ n переменных. Тогда
∃ n-r линейно независимых решений e1,e2,…en-r, и любое другое
ее решение будет их линейной комбинацией.
ОПР. Совокупность максимального числа линейно-независимых
решений СЛОУ называется фундаментальной системой
решений (ФСР).
АЛГОРИТМ НАХОЖДЕНИЯ ФСР:
1) находим общее решение;
2) записываем единичную матрицу порядка n – r (ее столбцы –
линейно независимые решения)
В качестве свободных неизвестных берем столбцы матрицы Е.
3) Записываем ФСР
пропустить страницу