Фракталы. Историческая справка

1.

ФРАКТАЛЫ
Автор: Касьянова Светлана
ученица 10б класса
МАОУ «СОШ №19» г. Перми

2.

Многие природные объекты и явления имеют
фрактальную форму или обладают фрактальными
свойствами.

3.

4.

Историческая
справка

5.

Фрактал (лат. fractus —
дробленый, сломанный,
разбитый) —
термин, означающий
геометрическую фигуру,
обладающую свойством
самоподобия.

6.

Звезда Коха
Один из первых примеров
фракталов был придуман еще в
начале 20-го века немецким
математиком Хельгой фон Кох
(1870-1924) и называется
звезда Кох.

7.

В результате получаются все более сложные
многоугольники, приближающиеся к
предельному положению – звезде Кох.

8.

Салфетка
Еще один вариант звезды Кох можно построить из
квадратов,
последовательным
добавлением
к
исходному квадрату подобных ему квадратов.

9.

Ковер Серпинского
Еще один пример самоподобной фигуры, придумал
польский математик В.Серпинский (1882-1969),
называемой ковром Серпинского. Она получается из
квадрата последовательным вырезанием серединных
квадратов.

10.

Начиная не с квадрата, а с правильного треугольника,
и вырезая центральные треугольники, получим
самоподобную фигуру, аналогичную ковру Серпинского
и называемую салфеткой Серпинского.
Салфетка Серпинского

11.

Кривая Пеано
Пример кривой, имеющий фрактальный
характер,
был
получен
итальянским
математиком
Д.Пеано
(1858-1932)
и
называется кривой Пеано.

12.

Интересным примером самоподобной кривой
является «Кривая дракона», придуманная физиком
Джон Хейтуэй.
Кривая дракона

13.

Структура
фрактала

14.

В последние двадцать пять лет возникло и
развивается новое направление в
математике – фрактальная геометрия.
Термин «фрактал» был введён франко –
американским математиком Бенуа
Мандельбротом в 1975 году и получил
широкую популярность с выходом в 1977
году его книги «Фрактальная геометрия
природы».

15.

Нетривиальная структура - на всех шкалах мы видим
одинаково сложную картину, которая является самоподобной
или приближённо самоподобной.

16.

17.

Дерево Пифагора
Конструктивный фрактал - это множество,
получающееся в результате линейных сжимающих
отображений подобия

18.

19.

Салфетка
Салфетка строится из кругов,
последовательным добавлением к
исходному кругу подобных ему кругов.

20.

21.

Исследовательская
работа

22.

Площадь салфетки Серпинского
S=1
S = 1/4
S = 3/16
S = 9/64

23.

Бесконечная геометрическая прогрессия: 1/4, 3/16, 9/64, 27/256
и т.д. с начальным членом b1=1/4 и знаменателем q=3/4.
S = 27/256
По формуле суммы геометрической прогрессии S = b1 ‫( ׃‬1 – q)
находим площадь вырезаемой части:
S = 1/4 ‫( ׃‬1 – 3/4) = 1/4 ‫ ׃‬1/4 = 1.
Получаем, что площадь салфетки Серпинского равна
S = 1 - 1 = 0.

24.

25.

Фракталы
вокруг нас

26.

В последние 20 лет фракталы
стали очень популярны.
Лепестки роз
Фрактальная форма
подвида цветной капусты

27.

Листья деревьев

28.

Трещины в некоторых породах

29.

В космонавтике

30.

Зимние узоры на стекле

31.

Изображения структуры некоторых веществ,
полученные с помощью электронного
микроскопа

32.

Турбулентные потоки в жидкостях.

33.

В морской тематике

34.

Система альвеол человека

35.

В двумерных моделях статистической
механики

36.

В компьюторной графике

37.

В изобразительном искусстве

38.

Фракталы, особенно на
плоскости, популярны
благодаря сочетанию
красоты с простотой
построения при помощи
компьютера.
Спасибо за внимание