Независимые повторения испытаний. Теорема Бернулли

1. МБОУ СОШ № 20 пос. Зеленый Ногинского района Московской области

Независимые повторения испытаний. Теорема
Бернулли.
Алгебра и начала анализа .
11 класс (базовый уровень).
Симонова Лариса Алексеевна,
учитель математики

2. Урок Случайные события и их вероятности Практикум по решению задач.

1.Что называют произведением событий А и В?
2. Сопоставьте произведение событий с теорией
множеств. А сумму событий?
3. Какие события называют независимыми?
4. Запишите формулу вероятности суммы двух
независимых событий.
5. Для каких событий вероятность суммы событий
равна сумме вероятностей этих событий?

3. Самостоятельная работа

1 вариант
2 вариант
1.Помещение освещается
В торговом центре два
фонарём с двумя
одинаковых автомата продают
лампами. Вероятность
кофе. Вероятность того, что к концу
перегорания лампы в
течение года равна 0,3. дня в автомате закончится кофе,
Найдите вероятность того, равна 0,3. Найдите вероятность
что в течение года
того, что к концу дня
1) перегорят обе лампы,
1)кофе останется в обоих
автоматах,
2) хотя бы одна лампа не
перегорит,
2) кофе останется хотя бы в одном
автомате.
3) перегорит ровно одна
3)кофе останется ровно в одном
лампа.
автомате.

4. 1 вариант 2 вариант

1 вариант
Решение.
1. 0,3·0,3 = 0,09.
2.
3.
2 вариант
2. 0,7·0,7= 0,49
1 способ
1 − 0,09 = 0,91.
2 способ
(1-0,3) 0,3+ 0,3 (1-0,3)+ (1-0,3)(1-0,3)=0,91
3 способ
P(A+B)=P(A)+P(B)- P(A) ·P(B)= 0,7+0,7-0,7 ·0,7=0,91
1 способ
(1-0,3) 0,3+ 0,3 (1-0,3)=0,42
2 способ
P(A+B)- P(A) ·P(B)=0,91-0,7 · 0,7=0,42

5. Сравните Пример 4 Пример 5.

• Два стрелка независимо Вероятность
попадания
в
друг от друга по одному
мишень при одном выстреле
разу стреляют в мишень.
равна
0,8.
Было
Вероятность попадания в
произведено 3 независимых
мишень каждого стрелка
друг от друга выстрела.
в отдельности равна 0,9 и
0,3 соответственно.
Найти вероятность того, что мишень:
а) будет поражена трижды;
б) не будет поражена;
в) будет поражена хотя бы раз;
г) будет поражена ровно один раз.
5

6. Тема урока

Независимые повторения испытаний.
Теорема Бернулли.

7.

Групповая работа
стр.338 пример 5
1.Решить примеры (учитывается степень
самостоятельности и объем верно выполненной
работы).
2. Найти еще один метод, предложенный
Бернулли.

8.

Пример 5.
Вероятность попадания в мишень при
одном
выстреле
равна
0,8.
Было
произведено 3 независимых друг от друга
выстрела.
Найти вероятность того, что мишень:
а) будет поражена трижды;
б) не будет поражена;
в) будет поражена хотя бы раз;
г) будет поражена ровно один раз.

9.

1.
2.
1.
Производится серия n независимых испытаний.
У каждого испытания 2 исхода:
A - "успех" и A - "неуспех".
Вероятность "успеха" в каждом испытании
одинакова и равна P(A) = p (соответственно,
вероятность "неуспеха" также не меняется от
опыта к опыту и равна ) р-1.
Какова вероятность того, что в серии из n
опытов k раз наступит успех?
Найти Рn (k ) .

10.

• Вероятность Рn (k ) наступления k успехов в n
независимых повторениях одного и того же
испытания находится по формуле
Рn (k ) С p q
k
n
k
n k
где p – вероятность «успеха»,
q = 1- p - вероятность «неудачи» в отдельном
опыте.

11.  Якоб Бернулли-1654-1705

Якоб Бернулли-1654-1705
Швейцарский математик.
Старший брат Иоганна Бернулли.
Профессор математики
Один из основателей теории
вероятностей и
математического анализа
Владел 5 языками
Изучал богословию, философию
Служил частным учителем
В честь братьев Бернулли назван
кратер на Луне, теоремы
математики и физики

12. План работы

1. №10 а, пример 5- записать решение с помощью теоремы
Бернулли.
Домашнее задание
• П.54 раздел 3-выучить теорию,
• доп.- прочитать о связи классического определения
вероятности со статистическим, о теореме –следствии
Бернулли, о явлении статистической устойчивостистр.340-341
• № 10, доп. № 22,6
• Индивидуальное задание:
• рассказать о связи классического определения
вероятности с геометрическим, о том, как вычислить
геометрическую вероятность -стр.341-342.

13. №10 а

• План
• 1.Записать формулу в общем виде
• 2. Определить и записать
• N=
• K=
• P=
• Q=
• 3.Подставить в формулу
• 4. Вычислить

14. Работа парами пример 5

• 1 группаа)
• 2 группаб)
в)-все вместе
3 группаг)

15. Пример 5

А)
P3 (3) C33 0,83 0,20 1 0,512 1 0,512
Б)
P3 (0) C30 0,80 0,23 11
0,08 0,08
Г)
P3 (1) C31 0,81 0,22 3 0,8 0,04 0,096
В)
P3 (1) P3 (2) P3 (3) 0,992
1 P3 (0) 0,992

16. Итоги

1. Что узнали нового?
2. Что научились делать?
3. Какие у вас возникли проблемы?
4. Предположите, чем будем заниматься на
следующем уроке?

17. Задача. (проблема следующего урока)

• Точка случайным образом выбрана из фигуры,
ограниченной y= x 2 , осью абсцисс, х=3.
• Какова вероятность того, что она лежит
• А)левее прямой х=1,
• Б)выше прямой y=3?
Бесконечное число исходов события.

18. Использованные ресурсы

Алгебра и начала анализа. 10 класс. В 2 ч. Ч.1., ч.2 Учебник для
общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / А. Г. Мордкович, П.
В. Семенов. – 4-е изд., доп. – М.: Мнемозина, 2007.
http://nsportal.ru/shkola/algebra/library/2014/03/09/glava-9-paragraf-54sluchaynye-sobytiya-i-ikh-veroyatnosti-chast-3
http://orgwikipediya.ru/wiki/%D0%91%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%83%D0%BB%D0%B
B%D0%B8,_%D0%AF%D0%BA%D0%BE%D0%B1