Ранг ступенчатой матрицы. Определение. Теорема с доказательством

1.

Ранг ступенчатой матрицы.
Определение.
Теорема с доказательством.
Каракчееева Мария Андреевна
Группа 3131

2.

Определение ступенчатой матрицы
Ступенчатой матрицей будем называть матрицу, удовлетворяющую следующим
условиям:
1)
Если в i-й строке матрицы первый ненулевой элемент стоит на k-м месте, то в (i+1)-й
строке первые k элементов – нули;
2)
Если i-я строка - нулевая, то (i+1) строка также нулевая.

3.

Теорема
Ранг ступенчатой матрицы равен числу её ненулевых строк.
Доказательство:
Рассмотрим матрицу A порядка mxn, приведённую к ступенчатому виду:
A=
0 … 0 a(1;s1) a(1;s2)
…
a(1;n)
ā1
λ1
0…0 0
…
a(2;n)
ā2
λ2
…
…
…
0 … 0 0 … 0 … a(r;sr) … a(r;n)
ār
_
θ
λr
…
0
a(2;s2)
…
…
…
…
…
…
0

4.

Теорема
Ранг ступенчатой матрицы равен числу её ненулевых строк.
Составим уравнение для определения линейной зависимости
_
λ1ā1+λ2ā2+…+λrār= θ
Подставим значения и получим систему
λ1a(1;s1)=0
=> λ1=0
λ1a(1;s2)+λ2a(2;s2)=0
=> λ2=0
…
λ1a(1;sr)+λ2a(1;sr)+…+λra(r;sr)=0
=> λr=0
Т.е. система линейно независима
По определению ранга матрицы получается, что r(A)=n, где n – число ненулевых строк
данной матрицы
ЧТД

5.

Sample Footer Text
Спасибо за внимание