Algebraik kasrlar

1.

NAMANGAN VILOYATI XALQ TA`LIMI
BOSHQARMASI
UYCHI TUMANI XALQ TA`LIMI BO`LIMIGA
QARASHLI
45-UMUMIY O`RTA TA`LIM MAKTABI
ALGEBRA FANI
Mavzu: ALGEBRAIK KASRLAR
O’QITUVCHI
Hojimirzayev Islomjon

2.

Algebraik kasrlar ustida birgalikda bajariladigan amallar.
Algebraik kasrlar ustidagi to`rt amalni bajarishni o`rgandik.
Bugungi
darsimizda
algebraik
kasrlar
ustida
birgalikda
bajariladigan amallarni o'zlashtiramiz. 1- ma s a l a . Katerning
turg‘un suvdagii tezligi soatiga a kilometrga teng, daryo
oqimining tezligi
soatiga b kilometrga teng. Katerning daryo
oqimi bo‘yicha harakat tezligi uning daryo oqimiga qarshi harakat
tezligidan necha marta ortiq? Amallarni bajaramiz.

3.

Katerning daryo oqimi bo‘yicha tezligi (a+b) kilometrga teng;
oqimga qarshi tezligi soatiga (a–b) kilometrga teng. Shuning uchun
daryo oqimi bo‘yicha harakat tezligi oqimga qarshi harakat
tezligidan
marta ortiq bo‘ladi.
ifoda algebraik kasr deyiladi. Bu kasrning surati a+b, maxraji
esa a–b.
Umuman, surat va maxraji algebraik ifodalar bo‘lgan
kasr algebraik kasr deyiladi.

4.

Algebraik kasrlarga doir yana bir necha misollar keltiramiz:
Agar algebraik kasrga kiruvchi harflar o‘rniga biror sonlar qo‘yilsa,
u holda zarur hisoblashlar bajarilgandan keyin shu algebraik kasrning
son qiymati hosil bo‘ladi.
Masalan, a=10, b=8 bo‘lganda
qiymati
ga teng bo‘ladi.
algebraik kasrning son

5.

algebraik kasrda a va b o‘rniga o‘zaro teng
bo‘lmagan
(a≠b)
istalgan
sonlarni
qo‘yish
mumkin,
chunki a=bbo‘lganda kasrning maxraji nolga aylanadi, nolga bo‘lish
esa mumkin emas.
Bundan keyin algebarik kasrga kiruvchi harflar yo‘l qo‘yiladigan
(joiz) qiymatlarnigina, ya’ni shu kasrning maxraji nolga
teng bo‘lmaydigan qiymatlarnigina qabul qiladi, deb shartlashamiz.
Kasrning asosiy xossasini bunday yozish mumkin:
bu yerda b≠0, m≠0.
Bu xossa kasrning surat va maxrajini bir xil algebraik ifodaga
ko‘paytirilsa yoki bo‘linsa, unga teng kasr hosil bo’lishini bildiradi,
masalan:

6.

Kasrning asosiy xossasidan foydalanib, algebraik kasrni surat va
maxrajga bir vaqtda kiruvchi umumiy ko‘paytuvchiga qisqartirish
mumkin, masalan:
Kasrlarni soddalashtirish uchun avval ularning surat va
maxrajining umumiy ko‘paytuvchisini ajratib olish kerakligiga doir
misollar keltiramiz.
ma s a l a . Kasrlarni qisqartiring:

7.

12a2b va 4ab2 birhadlar 4ab umumiy ko‘paytuvchiga ega.
Kasrning surat va maxrajini 4ab ga bo‘lamiz:
m2–n2 va m2+mn ko‘phadlar m+n umumiy ko‘paytuvchiga ega,
chunki m2–n2=(m+n)(m–n), m2+mn=m(m+n). Kasrning surat va
maxrajini m+n ga bo‘lamiz:
Shunday qilib, kasrlarni qisqartirish uchun bu kasrlarning surat va
maxrajini ularning umumiy ko‘paytuvchisiga bo‘lish kerak.

8.

Agar A,B kasrning surat yoki maxrajidagi ishorani qarama-qarshi
kasr hosil bo‘lishini ta’kidlab o‘tamiz:
Masalan,
ma s a l a .
kasrni qisqartiring:
=

9.

Oddiy kasrlarni qo‘shishda avval kasrlarni umumiy maxrajga
keltirib olinadi.
Masalan,
kasrlar uchun umumiy
maxraj 100 soni bo‘ladi, bu son 4, 25, 10 sonlarining eng kichik
umumiy karralisidir.
Algebraik kasrlarni qo‘shish va ayirishda ham xuddi shunday
almashtirishlarni bajarishga to‘g‘ri keladi, uni ham kasrlarni umumiy
maxrajga keltirish deyiladi.
va
algebraik kasrlarni umumiy maxrajga keltiring.

10.

Berilgan kasrlarning umumiy maxraji har bir kasrning maxrajiga
bo‘linishi kerak. Demak, u 3 ga, 6 ga, 4 ga, ya’ni 12 ga;a2 ga, a ga
va a ga, ya’ni a2 ga; b ga va b2 ga, ya’ni b2 ga; c ga bo‘linishi kerak.
Shunday
qilib,
kasrlarning
umumiy
maxraji 12, a2, b2 va c ko‘paytuvchilarni o‘z ichiga olishi kerak.
Umumiy maxraj sifatida 12a2b2c ko‘paytmani olish lozim bo‘ladi. Bu
umumiy maxrajni birinchi kasrning maxrajiga bo‘lib, uning surat va
maxrajini ko‘paytirish kerak bo‘lgan birhadni topamiz. Bu birhad
berilgan kasrning qo‘shimcha ko‘paytuvchisi deyiladi. Birinchi kasr
uchun bunday birhad 4bc ga teng. Xuddi shunday yo‘l bilan ikkinchi va
uchinchi
kasrlar
uchun
qo‘shimcha
ko‘paytuvchilarni
topamiz: 2a va 3ab2.
Birinchi, ikkinchi va uchinchi kasrlarning surati va maxrajini mos
ravishda 4bc, 2ac va 3ab2 ga ko‘paytirib, ularni12a2b2c umumiy
maxrajga keltiramiz:

11.

Kasrlarning maxrajini ko‘paytuvchilarga ajratamiz:
x2–y2=(x–y)(x+y);
2x2–4xy+2y2=2(x2–2xy+y2)=2(x–y)2;
3x2+6xy+3y2=3(x2+2xy+y2)=3(x+y)2.
Umumiy maxraj berilgan kasrlarning har birining maxrajiga bo‘linishi kerak.
Umumiy maxraj birinchi kasrning maxrajiga bo‘linishi uchun uning
tarkibida (x–y)(x+y) ko‘paytma bo‘lishi kerak.
So‘ngra, umumiy maxraj ikkinchi kasrning maxrajiga bo‘linishi kerak va
shuning uchun unda 2(x–y)2 ko‘paytuvchi bo‘lishi kerak. Demak, birinchi kasr
maxrajiga 2(x–y) ko‘paytuvchini yozib qo‘yish kerak, ya’ni umumuiy maxraj
tarkibida
2(x–y)2(x+y)
ko‘paytma bo‘lishi lozim.
Umumiy maxraj uchinchi kasrning 3(x+y)2 maxrajiga bo‘linishi uchun hosil
qilingan ko‘paytmaga 3(x+y) ko‘paytuvchini yozib qo‘yish kerak. Demak, uchala
kasrning umumiy maxraji
6(x–y)2(x+y)2
ga teng bo‘ladi.
Demak, berilgan kasrlarni bunday yozib olish mumkin:

12.

Uyga vazifa
Surati x va y sonlarning ko‘paytmasiga, maxraji esa
ularning yig‘indisiga teng bo‘lgan algebraik kasrni yozing.
Surati p va q sonlarning ayirmasiga, maxraji esa ularning
ko‘paytmasiga teng bo‘lgan algebraik kasrni yozing.
Surati a va b sonlar kvadratlarining ayirmasiga, maxraji
esa shu sonlar ayirmasining kvadratiga teng bo‘lgan algebraik
kasrni yozing.
Surati c va d sonlar kublarining yig‘indisiga, maxraji esa
shu sonlar
ko‘paytmasining ikkilanganiga teng bo‘lgan
algebraik kasrni yozing.