Элементы статистики и теории вероятностей в курсе математики основной школы

1.

Автор : Абасова Луиза Габибуллаевна,
учитель матетатики МБОУ СОШ №25,
г. Махачкала Республика Дагестан

2.

Оглавление
Историческая справка.
С чего начиналась теория вероятностей?
Основные понятия теории вероятностей.
Случайные величины.
Закон распределения.
Отношения между событиями.
Правило умножения. Правило сложения.
Элементы и основные формулы комбинаторики.
Решение задач.
Теория вероятностей в современном мире.
Применение в статистике.
Применение в экономике. Применение в строительстве
Применение в технасфере.
Применение в медицине.
Применение в астрономии.
Применение в сельском хозяйстве.
Применение в медицине.
Применение в азартных играх (рулетка).
Список использованной литературы и сайтов.

3.

4.

Историческая справка
Даниил Бернулли - швейцарский математик
и механик. В 1725-33 он работал в
Петербургской АН сначала на кафедре
физиологии, а затем механики.
Впоследствии он состоял почётным членом
Петербургской АН, опубликовал (с 1728-78)
в её изданиях 47 работ. Профессор в Базеле
по физиологии (1733) и по механике (1750).
В математике Даниилу Бернулли
принадлежат: метод численного решения
алгебраических уравнений с помощью
возвратных рядов, работы по
обыкновенным дифференциальным
уравнениям, по теории вероятностей с
приложением к статистике
народонаселения и, отчасти, к астрономии,
по теории рядов. В работах, завершенных
написанным в Петербурге
трудом "Гидродинамика"(1738), вывел
основное уравнение стационарного
движения идеальной жидкости, носящее
его имя. Даниил Бернулли разрабатывал
кинетические представления о газах.

5.

Исторические справки.
Сайт http://pedsovet.su/

6.

7.

Основные понятия теории вероятностей.
Тео́рия вероя́тностей раздел математики,изучающий закономерности
случайных явлений:случайные события, случайные величины, их свойства и операции над
ними.
Понятие о случайном событии. Виды событий. Вероятность события
Всякое действие, явление, наблюдение с несколькими различными исходами, реализуемое
при данном комплексе условий, будем называть испытанием.
Результат этого действия или наблюдения называется событием.
Если событие при заданных условиях может произойти или не произойти, то оно
называется случайным. В том случае, когда событие должно непременно произойти, его
называют достоверным, а в том случае, когда оно заведомо не может произойти,невозможным.
События называются несовместными, если каждый раз возможно появление только одного
из них.
События называются совместными, если в данных условиях появление одного из этих
событий не исключает появление другого при том же испытании.
События называются противоположными, если в условиях испытания они, являясь
единственными его исходами, несовместны.
События принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита: А, В, С, Д, : .
Полной системой событий А1, А2, А3, : , Аn называется совокупность несовместных событий,
наступление хотя бы одного из которых обязательно при данном испытании.
Если полная система состоит из двух несовместных событий, то такие события называются
противоположными и обозначаются А и .

8.

Классическое определение вероятности
Число, являющееся выражением меры объективной возможности наступления
события, называется вероятностью этого события и обозначается
символом Р(А).
Определение. Вероятностью события А называется отношение числа исходов
m, благоприятствующих наступлению данного события А, к числу n всех
исходов (несовместных, единственно возможных и равновозможных), т.е. .
Следовательно, для нахождения вероятности события необходимо, рассмотрев
различные исходы испытания, подсчитать все возможные несовместные
исходы n, выбрать число интересующих нас исходов m и вычислить
отношение m к n.
Из этого определения вытекают следующие свойства:
Вероятность любого испытания есть неотрицательное число, не
превосходящее единицы.
Действительно, число m искомых событий заключено в пределах . Разделив
обе части на n, получим
2. Вероятность достоверного события равна единице, т.к.
3. Вероятность невозможного события равна нулю, поскольку

9.

Вероятность случайного события
Чтобы можно было приступить к математической части
вероятности, нужно дать определения всем ее составляющим.
Вероятность события – это выраженная в числовой форме мера
возможности появления некоторого события (А или B) в
результате опыта.
Обозначается вероятность как P(A) или P(B). В теории
вероятностей отличают: достоверное событие гарантированно
происходит в результате опыта Р(Ω) = 1; невозможное событие
никогда не может произойти Р(Ø) = 0; случайное событие лежит
между достоверным и невозможным, то есть вероятность его
появления возможна, но не гарантирована (вероятность
случайного события всегда в пределах 0≤Р(А)≤ 1).- Читайте
подробнее на
SYL.ru: http://www.syl.ru/article/198695/new_veroyatnost-sobyitiyaopredelenie-veroyatnosti-sobyitiya

10.

Отношения между событиями
Рассматривают как одно, так и сумму событий А+В, когда
событие засчитывается при осуществлении хотя бы одного из
составляющих, А или В, или обоих – А и В. По отношению друг к
другу события могут быть: Равновозможными. Совместимыми.
Несовместимыми. Противоположными (взаимоисключающими).
Зависимыми. Если два события могут произойти с равной
вероятностью, то они равновозможные. Если появление события
А не сводит к нулю вероятность появление события B, то они
совместимые. Если события А и В никогда не происходят
одновременно в одном и том же опыте, то их называют
несовместимыми. Бросание монеты - хороший пример:
появление решки – это автоматически непоявление орла.Читайте подробнее на
SYL.ru: http://www.syl.ru/article/198695/new_veroyatnostsobyitiya-opredelenie-veroyatnosti-sobyitiya

11.

Отношения между событиями
. Примеры На примерах гораздо проще понять принципы теории
вероятностей и комбинации событий. Опыт, который будет проводиться,
заключается в вытаскивании шариков из ящика, а результата каждого опыта –
элементарный исход. Событие – это один из возможных исходов опыта –
красный шар, синий шар, шар с номером шесть и т. д. Испытание №1.
Участвуют 6 шаров, три из которых окрашены в синий цвет, на них нанесены
нечетные цифры, а три других – красные с четными цифрами. Испытание 1.
Испытание 1
Испытание №2. Участвуют 6 шаров синего
цвета с цифрами от одного до шести

12.

Понятие достоверного события
Исходя из этого примера, можно назвать комбинации: Достоверное событие. В
исп. №2 событие «достать синий шар» достоверное, поскольку вероятность его
появления равна 1, так как все шары синие и промаха быть не может. Тогда как
событие «достать шар с цифрой 1» – случайное. Невозможное событие. В исп.
№1 с синими и красными шарами событие «достать фиолетовый шар»
невозможное, поскольку вероятность его появления равна 0. Равновозможные
события. В исп. №1 события «достать шар с цифрой 2» и «достать шар с цифрой
3» равновозможные, а события «достать шар с четным числом» и «достать шар
с цифрой 2» имеют разную вероятность. Совместимые события. Два раза
подряд получить шестерку в процессе бросания игральной кости – это
совместимые события. Несовместимые события. В том же исп. №1 события
«достать красный шар» и «достать шар с нечетным числом» не могут быть
совмещены в одном и том же опыте. Противоположные события. Наиболее
яркий пример этого – подбрасывание монет, когда вытягивание орла
равносильно невытягиванию решки, а сумма их вероятностей – это всегда 1
(полная группа). Зависимые события. Так, в исп. №1 можно задаться целью
извлечь два раза подряд красный шар. Его извлечение или неизвлечение в
первый раз влияет на вероятность извлечения во второй раз.

13.

14.

15.

.
Элементы комбинаторики
Размещения
Рассмотрим некоторое множество ХХ, состоящее
из nn элементов X={x1,x2,...,xn}X={x1,x2,...,xn}. Будем выбирать из этого
множества различные упорядоченные подмножества YY из kk элементов.
Размещением из nn элементов множества ХХ по kk элементам назовем
любой упорядоченный набор (xi1,xi2,...,xik)(xi1,xi2,...,xik) элементов
множества ХХ.
Если выбор элементов множества YY из ХХ происходит с возвращением,
т.е. каждый элемент множества ХХ может быть выбран несколько раз, то
число размещений из nn по kk находится по формуле nknk (размещения с
повторениями).
Если же выбор делается без возвращения, т.е. каждый элемент
множества ХХ можно выбирать только один раз, то количество размещений
из nn по kk обозначается AknAnk и определяется равенством
Akn=n⋅(n−1)⋅...⋅(n−k+1)=n!(n−k)!.Ank=n⋅(n−1)⋅...⋅(n−k+1)=n!(n−k)!.
(размещения без повторений).

16.

17.

Примеры.
Пример.Пусть даны шесть цифр: 1; 2; 3; 4; 5; 6. Определить сколько
трехзначных чисел можно составить из этих цифр.
Решение. Если цифры могут повторяться, то количество трехзначных
чисел будетm=nk=63=216m=nk=63=216. Если цифры не повторяются,
то m=A36=6⋅5⋅4=120m=A63=6⋅5⋅4=120.
Пример. Студенты института изучают в каждом семестре по десять
дисциплин. В расписание занятий включаются каждый день по 3
дисциплины. Сколько различных расписаний может составить
диспетчерская?
Решение. Расписание на каждый день может отличаться либо
предметами, либо порядком расположения этих предметов, поэтому
имеем размещения: A310=10⋅9⋅8=720A103=10⋅9⋅8=720.

18.

Перестановки
Частный случай размещения
при n=kn=k называется перестановкой из nn элементов. Число
всех перестановок из nn элементов равно Ann=Pn=n!Ann=Pn=n!.
Пример. 30 книг стоит на книжной полке, из них 27 различных
книг и одного автора три книги. Сколькими способами можно
расставить эти книги на полке так, чтобы книги одного автора
стояли рядом?
Решение. Будем считать три книги одного автора за одну книгу,
тогда число перестановок будет P28P28. А три книги можно
переставлять между собой P3P3 способами, тогда по правилу
произведения имеем, что искомое число способов
равно: N=P3⋅P28=3!⋅28!N=P3⋅P28=3!⋅28!.

19.

Сочетания
Пусть теперь из множества ХХ выбирается неупорядоченное
подмножество YY (порядок элементов в подмножестве не имеет значения).
Сочетаниями из nn элементов по kk называются подмножества
из kk элементов, отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом.
Общее число всех сочетаний из nn по kk обозначается CknCnk и равно
Ckn=Aknk!=n!(n−k)!⋅k!=n⋅(n−1)⋅...⋅(n−k+1)k!.
Cnk=Ankk!=n!(n−k)!⋅k!=n⋅(n−1)⋅...⋅(n−k+1)k!.
Справедливы равенства:
C0n=1,Cnn=1,Ckn=Cn−kn.
Cn0=1,Cnn=1,Cnk=Cnn−k.
Пример. В группе из 27 студентов нужно выбрать трех дежурных.
Сколькими способами можно это сделать?
Решение. Так как порядок студентов не важен, используем формулу
для числа сочетаний:
C327=27!24!⋅3!=27⋅26⋅251⋅2⋅3=2925.

20.

Геометрическое представление

21.

Основные формулы

22.

Решение задач

23.

Решение задач

24.

Решение задач

25.

Решение задач

26.

Решение задач

27.

Применение теории вероятности

28.

Применение теории вероятности и математической статистики
Одной из главных сфер применения теории вероятностей является экономика.
Планирование, исследование и прогнозирование экономических явлений
невозможны без построения экономико-математических моделей, которые
опираются на теорию вероятностей.
Коммерческие банки в данный момент располагают широким охватом
операций денежно-кредитного характера, но их главное направление выдача кредитов. Сейчас у банков появляется серьезная опасность кредитный риск. Он зависит от вероятности исполнения заемщиком всех
обязательств соглашения по объемам и срокам. Величина вероятности
определяется способностью заёмщика погашать кредитные обязательства.

29.

Применение теории вероятности и математической
статистики а строительстве
Строительной сфере применяются такие методы как статистический контроль ввода в эксплуатацию
жилых и производственных помещений , статистическое регулирование процессов строительства и
другие методы.
Применение современных вычислительных и программных устройств позволяет существенно сократ
ить процесс сбора и обработки информации, получения аппроксимирующих зависимостей и оценки
результатов, позволяет доступно и наглядно продемонстрировать полученные выводы. Поэтому для
применения методов теории вероятности и математической статистики в строительстве необходим
о только их знание и желание использовать.

30.

Применение теории вероятности и математической статистики
Теоретически возможности новых достижений в медицине неограниченны,
однако на практике обычно ощущается нехватка врачей и медицинских сестер,
недостаток лекарств, помещений, финансов и т.д. В связи с этим возникает
множество неотложных проблем, решение которых позволило бы
использовать имеющиеся ограниченные ресурсы с максимальной
эффективностью. Эти проблемы относятся и к области практического
применения теории вероятностей, и в настоящее время важность этого
предмета для медицины в целом получает все большее признание.

31.

Применение теории вероятностей и математической статистики
в техносфере
Важное место ЧС занимают диагностика и профилактика возможных отказов
объектов техносферы (планово-предупредительные мероприятия), где применяется
теория вероятностей и математический статистика. Обеспечение безопасности
населения и окружающей природной среды представляет собой весьма сложную
техническую задачу, решение которой невозможно без совершенствования и
углубления инженерной подготовки в области исследования надежности,
прогнозирования и обеспечения безопасности технических систем.

32.

Применение теории вероятности
В нашем понимании азартные игры это рулетка, карты, однорукий бандит или
онлайн-казино (посмотреть один из аналогов такового можно ), но в давние времена
все было намного сложнее.
Слово «азарт» с арабского языка дословно переводится как «игральные кости». А
сами кости в старину изготавливались из различного материала (фаланговые кости
собаки или овцы, дерево, слоновая кость) и использовались для бросания жребия и
азартных игр.

33.

Азартные игры

34.

Использованная литература и сайтов
1. Алгебра. Элементы статистики и теории вероятностей. Учебное
пособие для учащихся 7-9 классов общеобразовательных учреждений.
Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. Под ред. С. А. Теляковского Москва
Просвещение 2003г.
2. События. Вероятности. Статистика.
3. Дополнительные материалы к курсу алгебры для 7-9 классов.
Мордкович А. Г., Семенов П. В. – Москва Мнемозина 2002г (к учебникам
А. Г. Мордковича) 3.Алгебра 7-9. Элементы статистики и вероятности.
Ткачев М. В., Федоров М. Е. - Москва Просвещение 2003г (к учебникам А.
М. Алимова и др.)
4. Виленкин Н. Я. Индукция. Комбинаторика – Москва Просвещение
1976г. А.Н.Мордкович,П.В.Семенов. События. Вероятности.
Статистическая обработка данных: Доп.параграфы к курсу алгебры 7-9
кл.общеобразоват.учреждений.- 3-е изд. – М.:Мнемозина,2005.
5. А.Г.Климова,И.Н.Данкова,О.П.Малютина. Элективный курс для
профильного обучения. (10-11 классы). Начала теории вероятностей с
элементами комбинаторики и математической статистики.
http://pedsovet.su/
http://www.rulet.ca/ru/roulette/european.aspx
http://ru.wikipedia.org/wiki/Теориявероятностей