Теоретическая механика
2.1. Дифференциальные уравнения движения материальной точки
Движение по прямой
Решение задач динамики точки путем интегрирования соответствующих дифференциальных уравнений движения сводится к следующим
Материальная точка с массой m движется под действием постоянной по модулю и направлению силы Q. Найти закон движения точки при
Сила зависит от времени
Сила зависит от скорости
Сила зависит от координаты
2.4. Решение основной задачи динамики при криволинейном движении точки
Решение основной задачи динамики при криволинейном движении точки
Решение основной задачи динамики при криволинейном движении точки
1.05M
Category: physicsphysics

Динамика точки. Дифференциальные уравнения движения материальной точки

1. Теоретическая механика

Динамика точки

2. 2.1. Дифференциальные уравнения движения материальной точки

Уравнения в декартовых координатах:
x=f1(t), y=f2(t), z=f3(t).
d 2x
m 2 Fkx
dt
m x Fkx
d2y
m 2 Fky
dt
или
d 2z
m 2 Fkz
dt
m y Fky
m z Fkz
В общем случае, т.к. действующие силы могут
зависеть от времени t, положения точки x,y,z, и от
скорости, то правая часть уравнений может быть
функцией всех переменных t , x, y , z , x , y , z
2

3.

2.2. Решение первой задачи динамики
(определение сил по заданному движению).
d r
m 2 F
dt
2
d 2x
m 2 Fkx
dt
d2y
m 2 Fky
dt
d 2z
m 2 Fkz
dt
3

4.

2.2. Решение первой задачи динамики
(определение сил по заданному движению).
m
d
F
dt
2
m Fn
0 Fb
1. Движение по прямой
2. Движение по дуге
3. Движение кривошипа
4

5. Движение по прямой

5

6.

2.3. Решение основной (второй) задачи
динамики при прямолинейном движении точки
(определение закона движения по заданным
силам).
Дифференциальное уравнение прямолинейного движения
точки
d 2x
или
m x Fkx
m 2 Fkx
dt
Иногда его удобнее заменить двумя уравнениями,
содержащими первые производные
d x
dx
m
Fkx , x.
dt
dt
d x
dx
d x d x dx d x
m
F
,
или
x
x
kx
x , т.к.
dx
dt
dt
dx dt
dx

7.

2.3. Решение основной (второй) задачи
динамики при прямолинейном движении точки
(определение сил по заданному движению).
В общем случае имеем дифференциальное
уравнение 2-го порядка
m x F t , x, x
Интегрируя это уравнение дважды, можем получить
уравнение движения материальной точки.
После интегрирования общее решение имеет вид
x f t , C1 , C2
По начальным условиям определяются постоянные
интегрирования С1 и С2.
Частное решение
x f t , x 0 , 0
7

8. Решение задач динамики точки путем интегрирования соответствующих дифференциальных уравнений движения сводится к следующим

операциям:
1. Составление дифференциального уравнения
движения:
Выбрать оси координат и начало отсчета
Изобразить точку и указать все действующие
силы
Подсчитать сумму проекций всех сил на
координатную ось
2. Интегрирование дифференциального уравнения
движения.
3. Определение постоянных интегрирования.
4. Нахождение искомых величин.
8

9. Материальная точка с массой m движется под действием постоянной по модулю и направлению силы Q. Найти закон движения точки при

начальных условиях: t=0, x=x0, x= 0.
d x
m
Q
dt
x Q / m t C1
dx
Q / m t C1
dt
x Q / 2m t 2 C1t C2
Учитывая начальные условия, получим:
0 C1 , x0 C2 . Тогда уравнение движения:
x x0 0t Q / 2m t 2
9

10.

10

11. Сила зависит от времени

P d x
kt
g dt
( P / g ) x kt 2 / 2 C1
Из начальных условий C1 0
dx
kg / 2 P t 2
dt
x kg / 2P t 3 / 3 C2
Из начальных условий C2 0
x kg / 6P t 3
F=kt. Найти закон
движения.
Начальные условия:
t=0, x=0, x= 0 =0.
11

12.

12

13. Сила зависит от скорости

Начальные условия:t=0, x=0,
x=0,5 м/с.
R= x.
d
m
.
dt
d
dt
или
ln
ln
t
0
m 0
m
0
t
t m / ln 0 / 3 с.
d
m
.
dx
d
dx
или
x
0
m0
m
0
x m / 0 1,1 м.
x
При 0, x 2,2 м.
Лодка массой m=40 кг, 0=0,5
м/с. R= . Где =9,1 кг/с.
Определить время за
которое скорость лодки
уменьшится вдвое и какой
путь она пройдет за это
время. Также определить
путь до полной остановки.
13

14.

14

15. Сила зависит от координаты

Начальные условия:t=0, x=a, x=0.
F F cos mg / R r cos mg / R x
kx
Введем обозначение g/R=k2, тогда
2
2 2
d x
2
/
2
k
x / 2 C1
x
k x
x
dx
Из начальных условий находим:
C1 k 2a 2 / 2 тогда x k a 2 x 2 . Радиус Земли R=6370 км.
dx
dx
k a 2 x 2 . kdt
.
2
2
dt
a x
kt arccos x / a C2 .
Определить время движения по АВ.
F=(mg/R)r,
где r=МС – расстояние от точки М
до центра Земли.
Из начальных условий находим, что С2=0.
x a cos kt
При x -a получим cos(kt) -1, t /k g/R 42 мин 11с.
15

16. 2.4. Решение основной задачи динамики при криволинейном движении точки

Начальные условия:
при t=0 x=x0, y=y0, z=z0;
x= x0= 0cos ,
y= y0= 0sin ,
z= z0.
16

17.

17

18.

18

19. Решение основной задачи динамики при криволинейном движении точки

Проекция силы тяжести на оси:
Px=0, Py=-P=-mg, Pz=0;
Диф. ур-ния после сокращения на m:
d y
d x
d
0,
g, z 0
dt
dt
dt
Начальные условия:
при t=0 x=x0, y=y0, z=z0;
x= x0= 0cos ,
y= y0= 0sin ,
z= z0.
После интегрирования:
x=С1, y= -gt+C2, z=C3.
Согласно начальным условиям:
С1= 0cos , С2= 0sin , С3=0.
Тогда
dx
dy
dz
0 cos ,
0 sin gt , 0
dt
dt
dt
После интегрирования:
X= 0tcos +C4, y= 0tsin -gt2/2+C5, z=C6.
C4=C5=C6=0
19

20. Решение основной задачи динамики при криволинейном движении точки

Окончательные уравнения
движения точки М:
x= 0tcos , y= 0tsin -gt2/2, z=0.
1. Траектория точки. Исключим t:
2. Горизонтальная дальность:
3. Высота траектории. Если
учесть что
x X/2 / g sin cos
2
0
то высота определяется как:
4. Время полета определяется из
уравнения X= 0Tcos :
gx 2
y xtg 2
2 0 cos 2
x1 0, x2 2 02 cos 2 tg / g
X x2 02 / g sin 2
H 02 / 2 g sin 2
T 2 0 / g sin
20
English     Русский Rules