Дифференциальные уравнения движения

1.

Глава 1
Дифференциальные уравнения
движения
§ 1. Прямолинейное движение
§ 2. Схема решения дифференциальных
уравнений движения
§ 3. Примеры решения задач

2.

Дифференциальные уравнения
движения
n
ma Fk
- основной закон динамики
k 1
d
m
Fk
dt k 1
n
2
n
d r
m 2 Fk
dt
k 1

3. - векторная форма задания движения

2
n
d r
m 2 Fk
dt
k 1
- координатный способ задания движения
n
mx Fkx
k 1
n
my Fky
k 1
n
mz Fkz
k 1
- в естественных координатах
n
m Fk
k 1
m Fkn
k 1
2
n
n
0 Fkb
k 1

4. § 1. Прямолинейное движение

сила (или равнодействующая сил) имеет постоянное
направление
скорость точки в начальный момент времени
направлена вдоль силы или равна нулю
2
d x
m 2 Fkx
dt
k 1
т.к.
n
n
dx
x
dt
или
mx Fkx
k 1
то
n
d x
m
Fkx
dt
k 1

5.

если сила (или равнодействующая сил) зависит от
координаты x, а не от времени t
или
по условию задачи надо найти зависимость скорости
Vx от координаты x, то
тогда
d x d x dx d x
x ,
dx
dt
dx dt
n
d x
m x
Fkx
dx k 1
и
dx
x
dt

6. Решение основной задачи динамики – нахождение x = f(t)

Cила (равнодействующая сил) может зависеть от
времени t, положения x и скорости точки vх
n
m x Fkx t , x, x
k 1
Дважды интегрируя это уравнение, находим
x f t , C1, C2
- общее решение уравнения,
x f t , x0 , 0
- частное решение уравнения

7. § 2. Схема решения дифференциальных уравнений движения

Составить дифференциальное уравнение:
- выбрать систему координат и начало отсчета;
- изобразить тело в произвольный момент времени
и все действующие на него силы;
- найти суммы проекций всех сил на оси координат
Интегрирование дифференциальных уравнений
Нахождение постоянных интегрирования
Определение искомых величин и исследование
полученных результатов

8. § 3. Примеры

Задача 1
Груз веса Р, находившийся в покое на гладкой
горизонтальной поверхности, начинает двигаться под
действием горизонтальной силы, проекция которой на
горизонталь равна Fx = H sin(kt), где H и k – постоянные
величины. Найти закон движения

9. Задача 1

ma N F mg
Задача 1
P = mg,
Fx= H sin(kt),
t=0, x=0, Vx=0
x:
max mx Fx H sin kt
d x
m
H sin kt
dt
m d x H sin kt dt
x(t) - ?
y
m d
N
Fx
0
x
mg
x
H sin kt dt
1
m x H cos kt C1
k
- общее решение
дифференциального уравнения

10. Начальные условия: t = 0, x = 0, Vx = 0

H
0
C1
k
1 H
m x H cos kt
k k
dx
1 H
m
H cos kt
dt
k k
H
C1
k
- частное решение
дифф. уравнения
- еще одно дифф. уравнение
1 H
m dx H cos kt dt
k k
1 H
m dx H cos kt k k dt

11. - общее решение

H
1 H
m x sin kt t C2
k
k k
- общее решение
Начальные условия: t = 0, x = 0, Vx = 0
0 0 0 C2
mx
H
1 H
sin kt t
k
k k
H sin kt
x
t
mk
k
C2 0
- частное решение
дифф. уравнения
- решение задачи
Вывод. На равномерное движение груза со скоростью
V = H / (k · m), происходящее по горизонтали вправо,
накладывается колебание с амплитудой A = H / (k2· m) и
периодом – T = 2·π / k

12. Задача 2

К твердому телу массы m =1 кг, которое может
двигаться вдоль оси x, приложена сила притяжения,
проекция которой на ось x направлена по горизонтали
налево и равна Sx = 2 x. Тело двигалось с начальной
скоростью V0 = 10 м/с вправо. Определить скорость
тела, когда оно пройдет путь 5 м

13. Задача 2

M =1 кг, Sx= 2 x,
t = 0, x0 = 0,
V0=10 м/c, xk= 5 м
ma N S mg
x:
d x
m
2 x
dt
Vk - ?
y
max mx S x
d x d x dx d x dx d x
x
dt
dt dx
dx dt
dx
Sx
N
0
m x d x 2 x dx
x
mg
m
x
d x 2 x dx

14. - общее решение

2x
x2
m
2 C1
2
2
- общее решение
Начальные условия: t = 0, x = 0, Vx = 10 м/с
100
1
0 C1
2
2
x 2 50
2
C1 50
- закон изменения скорости
k 100 2 x 2 100 2 52 50 7.07 м с
Ответ. Скорость тела, когда оно пройдет путь 5 м,
будет 7.07 м/с

15. Задача 3

Лодку с пассажиром, масса которых m = 120 кг,
толкают, сообщая начальную скорость V0 = 2 м/с.
Считать силу сопротивления воды при малых скоростях
изменяющейся по закону R = µV, где µ = 9.1 кг/с. Найти
путь, который пройдет лодка до остановки

16. Задача 3

ma N R mg
Задача 3
m=120 кг, V0=2 м/c,
R=µV, µ=9.1 кг/с,
t=0, x0=0,
S-?t-?
y
R
x
mg
max mx R x
d x
m
x
dt
d x
m
dt
x
d x
x m dt
N
0
x:
ln x t ln C1
m
- общее решение дифф.
уравнения

17. Начальные условия: t = 0, x = 0, Vx = 2 м/с

ln 2 0 ln C1
ln x 0.08 t ln 2
C1 2
- частное решение
дифф. уравнения
ln x / 2
x
при х 0 t
ln 0.08 t t
0.08
2
d x d x dx d x dx d x
x
dt
dt dx
dx dt
dx
d x
m x
x
dx
- еще одно дифф. уравнение

18. - общее решение

m d x dx x x C2
m
- общее решение
Начальные условия: t = 0, x = 0, Vx = 2 м/с
2 0 C1
x x 2
m
x 0
C1 2
- закон изменения скорости
2m 240
x
26.6 м
9.1
Ответ. Лодка будет двигаться очень долго и будет
стремиться преодолеть путь около 26.6 м

19. Задача 4

Камень массы m, брошен под углом α к
горизонтальной плоскости со скоростью V0. Определить
траекторию движения, горизонтальную дальность
полета, высоту полета и время полета камня.
Сопротивлением воздуха пренебречь

20. Задача 4

m, V0,
α, t = 0,
X0 = 0,
Y0 = 0
y
x(t) - ?
y(t) - ?
OC - ?
H-?
T-?
mg
V0
H
α
0
Cx

21.

ma mg
x:
y:
max mx 0
ma y my mg
d x
0;
dt
d y
dt
g
разделяем переменные
d x 0 dt
d y g dt ,
интегрируем
d
x
0 dt
x C1
d
y
g dt
y g t C2
- общие решение дифференциальных уравнений

22. Начальные условия: t = 0, Vx = V0 cosα, Vy = V0 sinα

C1 0 cos ;
0 sin 0 t C2 C2 0 sin
x 0 cos
y g t 0 sin
- частные решения дифференциальных уравнений
dx
0 cos
dt
dy
0 sin g t
dt
- еще два дифференциальных уравнения
dx 0 cos dt
dx
0
cos dt
dy 0 sin g t dt
dy sin g t dt
0

23. Общие решения дифференциальных уравнений

x 0 cos t C3 ;
x 0 cos t
g t
y 0 sin t
C4
2
2
y 0 sin t g t 2
2
- частные решения дифференциальных уравнений
g x2
Траектория движения камня: y x tg
2 02 cos 2
Уравнение параболы с осью параллельной оси OY
Брошенное под углом к горизонту тело движется в
безвоздушном пространстве по параболе (Г. Галилей)

24. Горизонтальная дальность полета:

при y 0
g x
0 x tg 2
2
2 0 cos
2
2
x1 0; x2 2 0 cos tg
g
- расстояние ОС
02
OC sin 2
g
OC
sin cos , то
Высота полета: если x
2
g
2
0
02 2
H sin
g

25. Время полета:

при x OC
X 0 T cos
02
X 2 sin cos
g
2 0
T
sin
g
Угол наибольшей дальности:
если ' 90 , то
расстояние ОС будет одинаковым для обоих случаев
При α = 45О Х будет максимальным
02
X*
g
02 X *
H*
2g
2
02
T*
2
g

26. Задача 5

Парашютист в момент раскрытия парашюта имел
скорость V0, направленную вертикально вниз. Найти
скорость парашютиста, если проекция силы
сопротивления движению на вертикаль
Rх = –k2mV2, где
m – масса парашютиста;
k – постоянный коэффициент;
V – скорость в проекции на вертикаль

27. Задача 5

m, V0,
Rх=-k2mV2,
t=0, x0=0
x-?
0
R
mg
x
ma R mg
x: max mx Rх mg
d x
2
2
m
k m mg
dt
d x
d x
dt;
dt
2 2
2 2
g k
g k
g
2
a
k2
a
dx
1
x a
x2 a2 2a ln x a C
g
k2
- табличный
интеграл

28. - общее решение

x g k
k
ln
k 2t C1
g x g k
- общее решение
Начальные условия: t = 0, x = 0
k
2 g
ln 1 k 2 0 C1
k x g
ln
k 2t
2 g k x g
k
C1 0
- частное решение
k x g
ln
2 g k t потенцируем это уравнение
k x g
и получим

29. - закон изменения скорости

k x g
e 2
k x g
k x k x e 2
x
g 1 e 2
k 1 e
g kt
2 g k t
k x g e 2
gkt
gkt
g 1 e 2
gkt
gkt
k
x
g
- закон изменения скорости
Ответ. Скорость парашютиста изменяется согласно
полученному закону