Статистическое оценивание неизвестных числовых характеристик. Урок № 32

1. Статистическое оценивание неизвестных числовых характеристик

Урок № 32

2. Основные вопросы темы:

Теория оценок
Точность оценки
Доверительный интервал

3. Дидактическая цель

усвоение правил вычисления несмещенных оценок
генеральной совокупности, вычисления
доверительного интервала
Знать:
понятие оценки выборочных характеристик;
понятие несмещенности, состоятельности и
эффективности оценки;
понятие доверительного интервала;
Уметь:
вычислять несмещенные оцени генеральной
совокупности

4. Понятие оценки

Генеральные совокупности характеризуются
некоторыми
постоянными
числовыми
характеристиками распределения.
По выборкам можно найти оценки этих
характеристик. Вследствие случайности
выборок значения оценок одной числовой
характеристики, вычисленные по разным
выборкам из одной же генеральной
совокупности,
бывают,
как
правило,
различными.

5. Понятие оценки

Обозначим
неизвестный
параметр
распределения,
то
есть
числовую
характеристику генеральной совокупности
Х через , а оценку неизвестного
параметра – через Тn.
Оценка Тn – функция от выборки.

6. Понятие оценки

Оценки неизвестного параметра можно
находить различными способами.
Например, если нужно оценить среднее
значение = μ нормального
распределения, то можно использовать
следующие оценки Тn:

7. Оценка неизвестного параметра

1) х1 – первый элемент выборки.
На практике часто так и поступают:
измеряют какую-то величину только один
раз, и этот результат используют как
значение этой величины;

8. Оценка неизвестного параметра

2)
xmax xmin
2
среднее арифметическое максимального и
минимального элементов выборки;
3) Мо – моду, которая при нормальном
распределении также равна среднему
значению μ;

9. Оценка неизвестного параметра

4) Ме – медиану, которая при нормальном
распределении также равна среднему
значению μ;
5) х – среднее арифметическое.
Для того чтобы установить, какая из
оценок лучше, надо знать основные
свойства (виды) оценок.

10. Несмещенные оценки

Несмещенной
называется оценка Тn,
среднее
значение
которой
равно
оцениваемому параметру : Е(Тn ) = .
Если это условие не выполняется, то
оценку называют смещенной, при этом
смещение вычисляется как разность
Е (Тn) – .

11. Несмещенные оценки

Несмещенной оценкой среднего значения
μ является среднее арифметическое
1 n
x xi
n i 1

12. Выборочная дисперсия

Аналогично с помощью выборочной
дисперсии S2 можно оценить дисперсию
σ2. Оказывается, что выборочная
дисперсия S2 является смещенной
оценкой дисперсии σ2:
n 1
Е( S2) =
σ 2,
n
при n смещение стремится к нулю.

13. Выборочная дисперсия

Значит, при достаточно большом объеме
выборки п выборочную дисперсию можно
приближенно принимать за несмещенную
оценку дисперсии σ2.
Для оценки дисперсии, несмещенной при
малом объеме выборки, используют
исправленную дисперсию
n
1
2
S
( xi x ) ;
n 1 i 1
2

14. Доверительный интервал

Интервальной называют оценку, которая
определяется двумя числами – концами
интервала, покрывающего оцениваемый
параметр.
Доверительным
называют
интервал,
который с заданной надежностью
покрывает заданный параметр.

15. Доверительный интервал

Если известно, что случайная величина Х
подчинена нормальному закону со
средним квадратическим отклонением ,
то вероятность того, что отклонение
найденной выборочной средней хв от
неизвестного математического ожидания а
по абсолютной величине не превосходит
заданного числа >0 (бесконечно малого),
определяется по формуле
= Р (| хв – а | < ) = Ф ( / 1),

16. Доверительный интервал

где функция Лапласа
(u )
2
u
e
0
t 2 / 2
dt
значения которой имеются в приложении
таблица 2 стр. 331 учебника Математическая
статистика В. Н. Калинина, В. Ф. Панкин.

17. Доверительный интервал

Среднее квадратическое отклонение для
хв определяется по формуле σ1 = σ /
Интервал хв – , хв + называется
доверительным интервалом,
а – доверительной вероятностью (или
надежностью).
Известно, что x
n
n

18. Перечень контрольных вопросов

1. Сформулируйте теорему о
состоятельности выборочного среднего.
2. Сформулируйте теорему о
несмещенности оценки.
3. Является ли выборочное среднее
несмещенной эффективной оценкой
математического ожидания?

19. Перечень контрольных вопросов

4. Дайте точечные оценки генеральной
дисперсии: состоятельность,
несмещенность,
5. Объясните, в чем заключается свойства
эффективности оценки.

20. Домашнее задание

Литература
[2] Максимова О.В. Теория вероятностей и
математическая статистика: учебное
пособие / О.В. Максимова, А.М. Махоткина, –
Ростов н/Д: Феникс, 2008. – 347 с.
Конспект по теме [2] л. 13 стр. 119.
Решение упражнений [2] л. 12, ч. 2 № 1, 2,
3 стр. 271.