Свойства тригонометрических функций гармонические колебания

1.

Свойства тригонометрических функций:
гармонические колебания
Выполнил:
студент группы 191р51
Рамалданов Артур

2.

Функция y=sin x и ее свойства
y
y=sin x
1
-2π
-3π/2
-π
-π/2
0
π/2
π
3π/2
2π
x
-1
Графиком функции y=sin x является синусоида
Свойства функции:
1.D(y) =R
2.Периодическая (Т=2p)
3.Нечетная (sin(-x)=-sin x)
4.Нули функции:
у=0, sin x=0 при х = pn, n Z
2

3.

y
1
-2π
-3π/2
-π
-π/2
0
y=sin x
π/2
π
3π/2
2π
x
-1
5. Промежутки знакопостоянства:
У>0 при х (0+2pn; p+2pn), n Z
У<0 при x (-p+2pn; 0+2pn), n Z
y
y=sin x
1
-2π
-3π/2
-π
-π/2
0
π/2
π
3π/2
2π
x
-1
6. Промежутки монотонности:
функция возрастает на промежутках
вида: [-p/2+2pn; p/2+2pn], n Z
функция убывает на промежутках
вида: [p/2+2pn; 3p/2+2pn], n Z
3

4.

y
xмах
-2π
-3π/2
1
-π
-π/2
0
y=sin x
xмах
π/2
π
3π/2
2π
x
-1
xmin
xmin
7. Точки экстремума:
Хмах= p/2 +2pn, n Z
Хмin= -p/2 +2pn, n Z
4

5.

Функция y=cos x
y
y=cos x
1
-3π/2
-π
-π/2
0
π/2
π
3π/2
x
-1
Графиком функции у = cos x является косинусоида
sin(x+p/2)=cos x
5

6.

Свойства функции y=cos x
D(y) =R
2.Периодическая
Т=2p
3.Четная
cos(-x)=cos x
4.Нули функции:
у=0, cos x=0 при х = 1/2pn, n Z
5. Промежутки знакопостоянства:
У>0 при х (-p/2+2pn; p/2+2pn), n Z
У<0 при x (p/2+2pn; 3p/2+2pn), n Z
6. Промежутки монотонности:
функция возрастает на промежутках вида:
[p+2pn; 2p+2pn], n Z
функция убывает на промежутках вида:
[0+2pn; p+2pn], n Z
7. Точки экстремума:
Хмах= 0 +2pn, n Z
Хмin = p +2pn, n Z
1.
6

7.

Функция тангенс
Область определения функции — множество всех действительных
чисел, кроме
Множество значений функции — вся числовая прямая, т.е. тангенс
— функция неограниченная.
Функция нечетная: tg(−x)=−tg x для всех х из области определения.
График функции симметричен относительно оси OY.
Функция периодическая с наименьшим положительным периодом
π, т.е. tg(x+π·k) = tg x, k ∈ Z для всех х из области определения.
tg x = 0 при
tg x > 0 для всех
tg x < 0 для всех
Функция возрастает на промежутках:

8.

Функция котангенс
Область определения функции — множество
всех действительных чисел, кроме чисел
Множество значений функции — вся числовая
прямая, т.е. котангенс — функция
неограниченная.
Функция нечетная: ctg(−x)=−ctg x для всех х из
области определения.
График функции симметричен относительно оси
OY.
Функция периодическая с наименьшим
положительным периодом π, т.е. ctg(x+π·k)=ctg
x, k ∈ Z для всех х из области определения.

9.

Механические волны
Волна - это колебания, распространяющиеся в
пространстве с течением времени.
Механической волной - называется процесс
распространения колебаний в упругой среде, который
сопровождается передачей энергии колеблющегося тела
от одной точки упругой среды к другой.

10.

Виды волн
поперечные волны
продольные волны
волна называется
волна называется
поперечной, если частицы
среды колеблются в
направлениях,
перпендикулярных к
направлению
распространения волн.
продольной, если
колебания частиц среды
происходят в
направлении
распространения волны.

11.

Физические характеристики волны
1) длина волны
это расстояние, на которое
распространяется волна
за время, равное одному
периоду колебаний.
2) скорость
распространения волны
это скорость, с которой
перемещаются в среде волновой
фронт(точки волны одинаковой фазы,
т.е. горбы или впадины). Фазовая
скорость волны зависит от
механических свойств среды, в
которой волна распространяется.
Связь между длиной
волны λ, фазовой
скоростью волны v,
частотой ν и периодом
Т волны:
λ = vT= v / ν =>
v=λν=λ/Т
[λ]=[м]; [v]=[м/с]

12.

Распространение волн в упругих средах
плоская волна
это волна , у которой направление
распространения одинаково во всех
точках пространства
сферическая волна
это волна, фронт которой
представляет собой сферическую
поверхность с радиусом,
совпадающую с направлением
распространения волны.

13.

Характеристики звуковых волн
Высота тона звуковой волны зависит от частоты
колебаний источника звука:
- чем больше частота колебаний, тем выше звук;
- чем меньше частота колебаний, тем звук ниже.
Громкость звука зависит
колебаний источника звука:
от
амплитуды
чем больше амплитуда, тем громче звук.
Восприятие громкости звука зависит от:
высоты тона (высокий звук кажется громче низкого);
индивидуальных особенностей слуха;
длительности звука

14.

Эхо
Эхо - это физическое явление, заключающееся в принятии наблюдателем отражённой от
препятствий волны.
Звуковое эхо - отражённый звук.
Эхо обусловлено тем, что звуковые волны могут отражаться твердыми поверхностями, это
связано с динамической картиной разрежений и уплотнений воздуха вблизи отражающей
поверхности.
Если источник звука находится на достаточном расстоянии от отражающей поверхности, а
кроме источника звука поблизости нет никаких дополнительных звуковых источников, то эхо
становится наиболее отчетливым.
Существует два вида эхо:
Однократное эхо - это волна, отражённая от препятствия и принятая наблюдателем.
Многократное эхо - это эхо, возникающее при каком-нибудь громком звуке, что порождает не
один, а несколько следующих друг за другом звуковых откликов.
В зависимости от рельефа местности, места и ориентации наблюдателя, погодных условий,
времени года и суток эхо изменяет свою громкость, тембр, длительность; меняется число его
повторений. Кроме того, может измениться и частота звукового отклика; она может оказаться
более высокой или, напротив, более низкой по сравнению с частотой исходного звукового
сигнала.

15.

Звуковые волны в различных средах
чаще всего звуковые волны достигают наших ушей по
воздуху.
звук распространяется в воде и твердых телах. (нырнув
под воду, вы можете услышать звук например, удара двух
камней).
Хорошо проводит звук земля.
(Дмитрий Донской перед Куликовской битвой,
приложив ухо к земле, услышал топот копыт конницы
противника, когда она еще не была видна).

16.

Гармонические колебания
Гармонические колебания – колебания, при которых физическая величина
изменяется с течением времени по гармоническому (синусоидальному,
косинусоидальному) закону.
Амплитуда - максимальное смещение – наибольшее расстояние от
положения равновесия (A).
Частота колебаний определяется как число полных колебаний в 1 с.
Период колебаний – минимальный промежуток времени, по истечении
которого повторяются значения всех физических величин, характеризующих
колебание.
Циклическая (круговая) частота – число полных колебаний за 2π секунд.
Частота и период гармонических колебаний не зависят
от амплитуды.

17.

Гармонические колебания
Колебания – повторяющийся во времени процесс
– гармонические колебания
,
A – амплитуда колебаний
– угловая частота
( t + 0) – фаза колебаний
0 – начальная фаза
– период колебаний

18.

Спасибо за внимание!