Логика. Умозаключение

1. Логика

Умозаключение

2. Синонимы к слову УМОЗАКЛЮЧЕНИЕ

высказывание
речь
рассуждение
размышление
(рас)следование
вывод, выведение
последовательность

3. Умозаключение

Умозаключением называется такой прием
рассуждения, посредством которого мы
из некоторого исходного знания
получаем новое, выводное знание.
MaP
Беспокойство истощает жизненные силы
S aполна
M беспокойства
Современная жизнь
Современная жизнь
силы
S aистощает
P
посылки
заключение
Правило следования

4. Виды умозаключения

По характеру направленности процесса
вывода умозаключения делятся на:
дедуктивные
индуктивные
традуктивные (аналогия)
(от латинского traductio переведение)
Кроме того, умозаключения делятся на
непосредственные и
опосредствованные.

5. Непосредственные умозаключения

включают в себя:
Умозаключения по логическому квадрату
Превращение
Обращение
Противопоставление предикату

6. Опосредованные умозаключения: простой категорический силлогизм

Определение: простой
категорический силлогизм опосредствованное дедуктивное
умозаключение об отношении
двух терминов ( S и P) на
основании их отношения к
третьему термину (M).

7. Простой категорический силлогизм: структура

M на
a лекции,
P
Всякий, кто работает
сдает экзамен без проблем.
Сидоров работает на лекции
S a M
Сидоров сдаст экзамен без проблем
S a P
Средний термин - M
Крайние термины – S и P
Меньший - S
Меньшая посылка – S a M
Больший - P
Большая посылка – M a P

8. Аксиома силлогизма

Если объем одного термина полностью
входит в объем другого, а объем другого
полностью входит в объем третьего, то и
объем первого полностью входит в
объем третьего. А если объем одного
термина полностью входит в объем
другого, а объем другого полностью
исключается из объема третьего, то и
объем первого полностью исключается
из объема третьего.

9. Аксиома силлогизма

Все, что сказано о роде,
сказано о виде и индивиде…
Всякий студент -учащийся. M a P
Семенов - студент.
S a M
Семенов - учащийся.
S a P
M
S
P

10. Аксиома силлогизма(продолжение)

Всё, что не сказано о роде,
не сказано о виде и индивиде.
Всякий студент не профессор. M e P
S a M
S e P
Семенов - студент.
Семенов - не профессор.
M
S
P

11. Правила категорического силлогизма

Общие правила
Правила фигур
Правила терминов
Правила посылок

12. Правила категорического силлогизма

Правила терминов
1. В категорическом силлогизме должно
быть три и только три термина.

13. Упражнение 1

Человек полетел в космос.
Я – человек.
_______________
Я полетел в космос
М есть Р
S есть М
_______
S есть Р

14. Правила категорического силлогизма

Второе правило терминов
2. Средний термин должен быть
распределен по крайней мере в одной
из посылок.

15. Контрпример ко второму правилу терминов

Гусеница ест капусту.
Человек ест капусту.
____________________
Человек – гусеница?

16. Правила категорического силлогизма

Третье правило терминов
3.Термин, не распределенный в посылках,
не может быть распределен в
заключении

17. Правила категорического силлогизма

?
Я – человек.
Ты не я.
___________
Ты не человек.
M a P
S е M
S е P+
-

18. Правила категорического силлогизма

Правила посылок.
1. Из двух отрицательных посылок нельзя
сделать никакого заключения.
2. Если одна из посылок отрицательная,
то заключение – отрицательное.
3. Из двух частных посылок нельзя
сделать никакого заключения.
4. Если одна из посылок частная, то
заключение – частное.

19. Фигуры и модусы категорического силлогизма

Бόльшая
посылка
Мéньшая
посылка
Заключение
M
S
P P
M S
M M
M M
P P
S M
M
S
S–P
S–P
S–P
S–P
I фигура
II фигура
III фигура
IV фигура

20. Модус категорического силлогизма

–это разновидность фигуры силлогизма,
отличающаяся количеством и качеством
посылок, т.е сочетание посылок различных
видов суждений: a,e,i,o.
Пример модусов первой фигуры:
MaP
SaM
MaP
SeM
MaP
S iM
MaP
SoM

21. Правила категорического силлогизма

Правила фигур
Правила I фигуры.
M - P
S - M
S - P
P - M
S - M
S - P
M - P
M - S
S - P
Большая посылка обязательно общее суждение,
а меньшая посылка – утвердительная.
Правила II фигуры.
Большая посылка всегда общее суждение, одна из
посылок – отрицательная.
Правила III фигуры.
Меньшая посылка всегда утвердительное
суждение, заключение – частное.

22. Фигуры и модусы категорического силлогизма

Правильные модусы.
I фигура
Barbara, Celarent, Darii, Ferio;
II фигура
Cesare, Camestres, Festino, Baroco;
III фигура
Darapti, Disamis, Datisi, Felapton,Bocardo, Ferison
IV фигура
Bramantip, Camenes, Dimaris, Fesapo, Fresison.

23. Упражнение

Третья фигура часто используется в том случае, когда
в споре приводятся примеры для опровержения
какого-либо положения.
“Всякий умный человек обладает тонким чувством
юмора”
Неправда, (1) Петров, например, умен, а (2) чувством
юмора не обладает.
Если ваш противник согласен с (1) и (2), то он вынужден
отказаться от высказанного положения.
Петров не обладает чувством юмора
Петров умен
(Felapton)
Некоторые умные люди не обладают чувством
юмора

24.

Сведение модусов 2-й, 3-й и 4-й
фигур к модусам 1-й фигуры
рассматривается как процедура их
доказательства, так как только
модусы I фигуры соответствуют
аксиоме силлогизма, а последняя,
поскольку она аксиома, не требует
доказательства.

25. Энтимема

Энтимема - сокращенный силлогизм,
в котором пропущены либо одна из
посылок, либо заключение.
Например, Слово не воробей,
вылетит – не поймаешь.
Определить, где посылка, а где
заключение можно, во-первых, по
смыслу, в том случае, когда союзных
слов нет и, во-вторых, по союзному
слову, которое связывает суждения.

26. ЭНТИМЕМА

Функции наиболее часто встречающихся союзных
слов таковы:
вводят посылку
так как
потому что
поскольку
ибо
ввиду того, что
вводят заключение
поэтому
значит
в итоге
следовательно
итак

27. Восстановление энтимемы

"Юпитер, ты сердишься, значит -- ты не прав"
— В данной энтимеме выводом является
суждение "Ты (Юпитер) не прав", а меньшей
посылкой, поскольку в ней находится субъект
вывода "Юпитер", — суждение "Юпитер
сердится". Зная, что средним термин отсутствует
в выводе, но присутствует в посылках, легко
определить, что им является понятие
"сердиться". Теперь не сложно восстановить
большую посылку, состоящую из предиката
вывода P и среднего термина M:

28. Восстановление энтимемы

Все сердящиеся не правы
Юпитер сердится_________ _
Юпитер не прав.
M не есть P
S есть
M
_________
S не есть P
I фигура модус Celarent

29. Энтимема

Все лжецы трусы
Кай – лжец
Кай – трус
P
Все лжецы
M
трусы
Ma P
S a M
S a P

30. Энтимема

Работа не волк, в лес не убежит.
Все, убегающие в лес, – волки.
Работа не волк
Работа в лес не убежит
Mв лес
Все, что убегает
P волк
P a M
S e M
S e P

31. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО ТЕМЕ «Простой категорический силлогизм»

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО ТЕМЕ
«Простой категорический силлогизм
»
1. Привести пример рассуждения по модусу
1-й вариант
AII
Datisi III ф.
2-й вариант
EIO
Festino II ф.
3-й вариант
EAE Celarent I ф.
4-й вариант
AOO Baroco II ф.
и изобразить силлогизм при помощи круговых схем.
Из четырех модусов выбрать единственный правильный модус и
обосновать отбрасывание трех неправильных:
1-й вариант P a M P a M
PaM PaM
SaM SeM
MoS SiM
2-й вариант M e P
MoS
MeP
MaS
MeP MeP
SoM SeM
3-й вариант M a P
SeM
MaP
SoM
MaP
MaS
4-й вариант P e M
SeM
PeM
SoM
PeM PeM
SiM MoS
MaP
MoS

32. Контрольная по теме «Простой категорический силлогизм» (продолжение)

3. Привести пример по модусу
1-й вариант
Cesare II ф.
2-й вариант
Darapti III ф.
3-й вариант
Festino II ф.
4-й вариант
Ferison III ф.
и свести его к соответствующему модусу I фигуры (желательно
использование круговых схем).
4. Восстановить энтимему (сокращенный силлогизм) в полный
силлогизм, указать фигуру и модус:
1-й вариант: Некоторые спортсмены изучают логику, так
как некоторые спортсмены – студенты факультета
журналистики.
2-й вариант: Этот силлогизм не имеет трех терминов,
следовательно, он не является правильным.
3-й вариант: Он человек, значит ничто человеческое ему не
чуждо.
4-й вариант: Национализм разрушителен, так как он приводит
к войне.

33. СИЛЛОГИЗМЫ СО СЛОЖНЫМИ ПОСЫЛКАМИ (суждениями) --

это силлогизмы, посылками
которых служат условные,
разделительные и другие
виды сложных суждений.

34. О ш и б к и в индуктивных умозаключениях:  

О ш и б к и в индуктивных
умозаключениях:
1) “поспешное обобщение”: 60 делится
без остатка на 1,2,3,4,5,6, значит, 60
делится на все числа без остатка.
2) "после этого, значит, по причине
этого ": Лектор дважды отметил
студентов, присутствующих на его
занятиях. После этого число студентов
на его занятиях увеличилось. Значит,
причиной хорошей посещаемости занятий
этого лектора является перекличка
студентов.

35. Упражнение 1.  Определить ошибку в следующих умозаключениях:

Упражнение 1. Определить ошибку в
следующих умозаключениях:
1. После строительства дамбы началось
заболачивание Финского залива.
Следовательно, причиной заболачивания
Финского залива явилось строительство
дамбы.
2. Дворцовый мост в Петербурге –
разводной. Троицкий мост – разводной.
Благовещенский мост- разводной.
Следовательно, все мосты в Петербурге разводные.

36. Упражнение 2. К каким выводам и по какому методу научной индукции можно прийти в следующих случаях:

Молодой человек стал усиленно
заниматься атлетической
гимнастикой, и у него появились
боли в области сердца. Он
прекратил эти занятия — боли
прошли.

37. Традуктивные умозаключения

К традуктивным умозаключениям относят
умозаключения по аналогии ( от греч.
αναλογια – соответствие).
Суть его состоит в том, что обнаруженное
частичное сходство различных объектов
по некоторому набору признаков
становится основанием для
предположения о том, что и остальные
признаки у них также совпадают.

38. Схема умозаключения по аналогии

S -1 обладает признаками
P-1,P-2, P-3,P-4, P-5.
S-2 обладает признаками
P-1,P-2, P-3.
Следовательно, S-2 обладает
признаками P-1,P-2, P-3,P-4, P-5.

39. Примеры умозаключения по аналогии

Нестрогая аналогия:
На поверхности Марса есть каналы,
похожие на земные. Значит, на Марсе, как
и на Земле, есть жизнь.
Структурная аналогия:
Строение Солнечной системы можно
уподобить модели атома.

40. Доказательство

Доказательство - логическая
процедура установления
истинности какого-либо суждения
при помощи других суждений,
истинность которых уже
установлена.

41. Состав доказательства:

тезис - суждение, истинность которого
следует доказать
аргументы, или основания - истинные
суждения, из которых следует тезис
форма, или демонстрация -
умозаключение, связывающее аргументы
с тезисом

42. Силлогизм как пример доказательства

Ни одна постройка Петербурга не относится к
XVII веку.
Домик Петра I - постройка Петербурга.
Домик Петра I не относится к XVII веку.
Здесь тезисом выступает суждение "Домик
Петра I не относится к XVII веку", аргументами
истинные суждения "Ни одна постройка
Петербурга не относится к XVII веку" и "Домик
Петра I - постройка Петербурга", а формой
доказательства выступает модус ЕА / Е 1
фигуры категорического силлогизма.

43. Состав доказательства

Тезис – высказывание, которое доказывается или
опровергается в процессе доказывания или
опровержения.
Основания – высказывания, используемые для
установления истинности или ложности тезиса
при его доказывании или опровержении.
В качестве оснований в доказательствах или в
опровержениях могут использоваться
высказывания о фактах, о данных опыта;
высказывания, истинность которых обоснована
ранее, в частности, доказанные ранее теоремы,
законы науки; различного рода определения;
аксиомы, постулаты, принципы и т.п.
.

44. Состав доказательства: демонстрация

Демонстрация или методы и способы доказывания и
опровержения – совокупность логических операций, в
частности, правил дедуктивных умозаключений,
применяемых к тезису и основаниям с целью доказать или
опровергнуть тезис.
Назначение демонстрации - сделать доказательство или
опровержение убедительным не только по содержанию, но
и объективно необходимым по его логической форме.
Демонстрация призвана показать, что между основаниями и
доказываемым тезисом действительно было установлено
отношение логического следования, в случае
доказательства, или установлено его отсутствие в случае
опровержения.

45. Состав доказательства

ЧТО ИЗ ЧЕГО СЛЕДУЕТ?
1. «ЧТО» - тезис, вывод
2. «ИЗ ЧЕГО» - аргументы, основания
3. «СЛЕДУЕТ» - правила логического
следования, демонстрация

46. Упражнение 1.

В следующих рассуждениях найти тезис,
выявить аргументы и форму
доказательства.
1) "Я мыслю, следовательно, я
существую" (Декарт)
2) Некоторые мосты в Петербурге
разводные, так как Дворцовый мост
находится в Петербурге и является
разводным.

47. Виды доказательств

Доказательства делятся на два основных
вида: прямые и косвенные. В прямом
доказательстве истинность тезиса
непосредственно следует из истинности
аргумента. Например,
Некоторые церковные сооружения
Петербурга - не православные соборы,
так как некоторые церковные
сооружения Петербурга - костелы, а ни
один костел не является православным
собором.

48. Прямое доказательство

В приведенном примере на первом месте
стоит тезис, который непосредственно
следует из аргументов - суждений,
стоящих после союза "так как", - по одному
из логических правил - модусу ЕI/O первой
фигуры категорического силлогизма.

49. Косвенное доказательство

Двумя видами косвенного
доказательства являются
апагогическое
(от греч. апагогэ - отведение) и
разделительное
Доказательства.

50. Апагогическое доказательство

Апагогическим доказательством, или
доказательством от противного, мы
нередко пользовались в школьном курсе
математики.
Докажем, например, что "два
перпендикуляра к одной прямой не
пересекаются ". Предположим, что
данный тезис неверен, а верен антитезис
"два перпендикуляра к одной прямой
пересекаются ".

51. Апагогическое доказательство

Из этого предположения следует, что два
перпендикуляра образуют треугольник, сумма 3-х
внутренних углов которого больше 180 градусов
(т.к. углы при основании равны 90 градусам).
Однако это следствие противоречит теореме о
том, что сумма трех углов в треугольнике равна
180 градусам, а значит, следствие является
неверным. Придя к противоречию с теоремой,
мы заключаем, что наше предположение, из
которого мы вывели ложное следствие, само
является ложным. А если из двух
противоречащих суждений (тезиса и антитезиса)
одно - а именно антитезис - ложно, то по закону
исключенного третьего другое - тезис - истинно.

52. Апагогическое доказательство

С примерами апагогического
доказательства мы имели дело при
обосновании модусов Baroco и Bocardo.
Пример с использованием метода
приведения к абсурду (противоречию):
Bocardo III фигуры
М о Р Не все музыканты - композиторы
М а S Все музыканты обладают хорошим слухом
______ _______________________________________
S о Р Некоторые люди, обладающие хорошим слухом, не
являются композиторами.

53. Апагогическое доказательство

Предположим, что заключение S o P неверно. Тогда
верно (вспомним логический квадрат) противоречащее
ему суждение S а Р: Все люди с хорошим слухом –
композиторы.
Используя это суждение в качестве большей посылки
силлогизма, получаем при помощи модуса Barbara I фигуры
новое заключение М а Р.
S a P Все люди с хорошим слухом - композиторы
М а S Все музыканты обладают хорошим слухом
----------------------------------------------------------------------M а Р Значит, все музыканты - композиторы
Это заключение М а Р противоречит истинной посылке
М о Р исходного силлогизма (не все музыканты –
композиторы). Следовательно, заключение исходного
модуса является верным.

54. Разделительное доказательство

В таком доказательстве тезис - одна из
альтернатив разделительного суждения, причем
в этом суждении должны быть перечислены все
альтернативы.
С х е м а: Либо А, либо В, либо С, либо D
не-А и не-В и не-С
Значит, D
Последовательно исключаются все
альтернативы, кроме одной, которая и является
тезисом доказательства.

55. Разделительное доказательство

Например: Простое категорическое суждение
может быть либо общеутвердительным, либо
общеотрицательным, либо
частноутвердительным, либо
частноотрицательным. Данное простое
категорическое суждение не является
общеутвердительным, не является
общеотрицательным, и не является
частноутвердительным.
-------------------------------------------
Значит, оно частноотрицательное.

56. Доказательство

Доказательством в самом широком
смысле следует назвать логическую
процедуру выявления или восстановления
последовательности в рассуждении,
целью которой является установление
(подтверждение) истинности некоторого
высказывания.

57. Опровержение

Если же целью подобной логической
процедуры становится установление
(подтверждение) его ложности, то мы
имеем дело с опровержением.
Ложность тезиса «Все мосты через Неву –
разводные» опровергается истинностью
антитезиса «Некоторый (Вантовый, он же
Большой Обуховский) мост через Неву не
является разводным».

58. Опровержение

ОПРОВЕРЖЕНИЕ является
доказательством ложности или
необоснованности, несостоятельности
тезиса.
Например, ложность тезиса " Все люди
- грамотные " мы устанавливаем из
истинности антитезиса "Некоторые люди
не являются грамотными".
В составе опровержения тоже отличают
1) тезис, ) аргументы, 3) форму
опровержения.

59. Опровержение

Опровергать тезис, как и доказывать истинность его отрицания с
помощью формулировки антитезиса можно как прямо, так и
косвенно.
(1) Опровергать косвенно тезис можно через установление
ложности следствий, якобы вытекающих (логически следующих) из
тезиса.
Для этого делают допущение об истинности тезиса и ищут ложные
следствия из него, которые бы противоречили ранее
установленным истинам. После обнаружения хотя бы одного
противоречия делается обоснованный вывод о том, что допускать
истинность тезиса было бы неправильно. Так косвенно будет
доказана истинность антитезиса или ложность самого тезиса.
(2) Самым сильным и убедительным для собеседника является
опровержение тезиса через прямое доказательство антитезиса.
Это означает необходимость установления истинности антитезиса
в процессе его доказывания.

60. Задача о 3-х умниках

трем умникам решили устроить испытание: им надели
на головы черные колпаки, но таким образом, чтобы никто
не увидел, какого цвета колпак на собственной голове.
Умникам объяснили, что в наличии имеется всего 5
колпаков: 2 белых и 3 черных. Самым умным признают того,
кто первый догадается, какого цвета колпак на его
собственной голове.
После некоторого молчания один из них сказал: "На мне
черный колпак". Как он догадался? Использовать схему
разделительного косвенного доказательства:
А или В или С
не-В и не-С
___________
А

61. Задача "Как сохранить свою должность?"

Задача "Как сохранить свою
должность?"
Начальник захотел сместить своего
подчиненного, но при этом не хотел его
слишком обидеть. Он позвал его к себе,
положил при нем на стол два листка бумаги и
сказал: "На одном листке я написал "Уходите", а
на другом "Останьтесь". Листок, который вы
вытащите, решит вашу судьбу". Подчиненный
догадался, что на обоих листках было написано
"Уходите". Как он поступит, чтобы остаться
на своей должности? (Ж.Байиф. Логические
задачи. С.58-59)

62.  Задача "Как сохранить свою жизнь?"

Задача "Как сохранить свою
жизнь?"
Некто совершил преступление, караемое
смертной казнью. На суде ему
предоставляется последнее слово. Ему
предлагают произнести только одно
высказывание. Если оно окажется истинным,
его утопят. Если же оно будет ложным, его
повесят. Какое утверждение он должен
высказать, чтобы привести судей в полное
замешательство?
(Р.Смаллиан. Как же называется эта книга?")
.

63. Ответы на задачи

Сила логики заставит начальника оставить
подчиненного в своей должности (задача
"Как сохранить свою должность?"), если
последний поступит следующим образом:
возьмет один из листков и, не читая,
уничтожит (проглотит, разорвет и т.п.)
Если на оставшемся в портфеле листке
написано "Уходите", то на втором должно
было быть написано "Останьтесь".

64. ЛОГИЧЕСКИЙ ПАРАДОКС 

ЛОГИЧЕСКИЙ ПАРАДОКС
- это рассуждение, в ходе которого
доказывается как истинность, так и ложность
некоторого утверждения.
Прежде чем приступить к изложению парадоксов,
обратим внимание на самоприменимость
содержания некоторых высказываний. Например,
"Я убедился, что убеждений нет". Человек,
высказавший это утверждение, впадает в
противоречие с самим собой. Часто подобного
рода утверждения увлекают в порочный круг, в
котором признание истинности некоторого
суждения приводит к признанию его ложности, а
признание его ложным заставляет заключить его
истинность.

65. Парадоксы и непарадоксы

Не является парадоксальным утверждение "Я говорю по-
русски", в котором содержание высказывания относится не
только к другим высказываниям, но и к самому себе.
Вследствие самоприменимости оно может быть только
истинным, в то время как высказывание "Я сплю" заведомо ложно, так как спящий человек не может
высказать это суждение, а бодрствующий человек может
высказать его, только сказав при этом ложь.
А вот утверждение "Я лгу" нельзя охарактеризовать ни
как ложное, ни как истинное: признав его содержание
истинным, мы убеждаемся, что оно ложно, если считать его
ложным, то оно оказывается истинным. Порочный круг налицо.

66. Парадокс "ЛЖЕЦ"

Парадокс "ЛЖЕЦ"
Среди эллинов сложилось мнение, что все жители острова
Крит лгут. Истинность утверждения "Все критяне лжецы"
не вызывала у афинян желания опровергнуть ее. Но когда в
Афины прибыл известный критский мудрец Эпименид и
высказал в народном собрании суждение "Да, все критяне лжецы", афиняне с удивлением обнаружили, что они не
правы. Нашелся критянин, который не лжет и который
превратил истинное суждение "Все критяне - лжецы" в
ложное.Но если признать ложным суждение "Все критяне
- лжецы", то выясняется, что Эпименид, утверждавший, что
оно истинно, все-таки сказал неправду, т.е. оказался
лжецом. Мы возвращаемся в исходную точку нашего
рассуждения.

67. Парадокс "БРАДОБРЕЙ"

Парадокс "БРАДОБРЕЙ"
Некий генерал, заботясь о том, чтобы в полку не было
небритых солдат, издал приказ о выделении в полку
одного солдата-брадобрея, у которого должны бриться все
те солдаты, которые себя не бреют. У кого должен
бриться этот солдат-брадобрей?
Приказ, по сути, делит всех солдат полка на два класса:
1) класс тех, кто бреется сам и) тех, кто не бреется сам. К
какому классу отнести солдата-брадобрея? Если к первому,
то он не должен бриться у брадобрея, т.е. у самого себя.
Если его отнести ко второму классу - тех, кто не бреется
сам, то он должен согласно приказу бриться у самого себя,
т.е. бриться сам. Как видим, наш солдат не может себя ни
побрить, ни не брить, не нарушая приказа генерала.

68. Парадокс "КАТАЛОГ НОРМАЛЬНЫХ КАТАЛОГОВ"

Парадокс "КАТАЛОГ
НОРМАЛЬНЫХ КАТАЛОГОВ"
Каталоги бывают двух типов: а) каталоги, которые,
перечисляя другие каталоги, не упоминают себя среди них такие каталоги называются нормальными, б) каталоги,
которые сами входят в число перечисляемых - они
называются ненормальными.
Библиотекарю дано задание составить каталог всех
нормальных каталогов. Должен ли он при составлении
своего каталога нормальных каталогов упомянуть
составленный им каталог?
Если он упомянет его, то составленный им каталог
нормальных каталогов окажется ненормальным, так как
будет сам входить в число перечисляемых каталогов.
Следовательно, он не должен упоминать новый каталог. Но
тогда получается, что он не выполнил задание: перечислил
не все нормальные каталоги, поскольку составленный им
каталог тоже является нормальным.

69. Вопрос

"Является ли "нет"
правильным ответом
на этот вопрос?"

70. Отношение логического следования

Отношением логического следования
называется такая связь между высказываниями
А1, А2, …Аn - посылками с одной стороны и
высказыванием В - заключением с другой, при
которой заключение В не может оказаться
ложным, если все посылки А1, А2, …Аn являются
истинными.
Это логическое отношение можно записать
следующим образом: А1, А2, …Аn В,
где знак отношения логического следования
между посылками и заключением.

71. Отношение логического следования

Отношение логического следования
рефлексивно. Это означает, что каким бы
по своему содержанию не было некоторое
высказывание А, из А всегда логически
следует А, т.е. (А А).
Это свойство закреплено в основном
законе логики – законе тождества.
Пример: Если 6 делится на 2, то 6 делится на 2.

72. Отношение логического следования

Отношение логического следования также
транзитивно: если А В и В С, то А С.
Например, если вы поступили в институт (А), то
вы являетесь студентом (В); если вы являетесь
студентом (В), то вы должны за время обучения в
институте сдать ряд экзаменов по строго
определенным программой предметам (С).
Таким образом, если Вы поступили в институт (А),
то Вы должны сдать экзамены по предусмотренным
программой предметам (С).

73. Отношение логического следования

Но отношение логического следования
является несимметричным.
Если А В, то вовсе не обязательно,
чтобы В А.
Например, если вы являетесь студентом
вуза, то вы должны сдавать экзамены; но,
если вы сдаете экзамены, то из этого
логически не следует, что вы обязательно
учитесь именно в вузе.

74. Что значит «значит»?

Чтобы установить, является ли данное рассуждение
последовательным необходимо прочитать его по схеме:
"Если А, то В, тогда всегда, если не-В, то не-А". Эта
схема имеет следующий чисто логический смысл: "Если из
А логически следует В, то из не-В логически следует не-А".
В результате получим следующее рассуждение: "Если мы
будем читать слишком быстро, то ничего не поймем, тогда
всегда, если мы все понимаем, то это означает, что мы
читаем медленно"(?!). Вторая половина фразы вызывает у
читателя естественное недоумение, поскольку отсутствие
логического следования, которое недостаточно явно
усматривалось при «прямом» прочтении исходной фразы,
при прочтении её по предложенной схеме стало очевидным.

75. Правило контрапозиции

Если отношение логического следования
отсутствует при "обратном прочтении", то
оно не имеет места и в исходном
рассуждении. Данное правило получило в
логике название "правила контрапозиции"
и является эффективным средством
проверки последовательности
рассуждений, состоящих из простых или
элементарных высказываний.

76. Дедуктивное и индуктивное доказательство

В правильных дедуктивных рассуждениях
из истинных посылок получаются только
истинные следствия (заключения), т.е.
истинность заключения в дедуктивных
рассуждениях или умозаключениях носит
необходимый характер.
В индуктивных заключениях вывод носит
вероятностный характер(кроме случая
полной индукции).

77. Упражнение 1.

Используя правила контрапозиции,
определите, имеет ли место отношение
логического следования в следующих
рассуждениях.
1.Если произойдет короткое замыкание, то
свет погаснет.
2. Если человек есть только телесное
существо, то смерть есть конец всего.
(Л. Н. Толстой)

78. Упражнение 2.

Постройте доказательство приведенного в книге
Р.Смаллиана «принципа пьяницы».
Существует один принцип, играющий важную роль в
современной логике. Некоторые из моих аспирантов дали
ему выразительное название «принцип пьяницы». …
Проблема состоит в следующем: существует ли в
действительности такой человек, что если он пьет, то
пьют все? Ответ на этот вопрос удивит многих из вас.
Вариант проблемы, двойственный принципу пьяницы:
существует ли по крайней мере один человек, такой, что
если кто-нибудь пьет, то пьет и он?

79. Решение

Да, существует такой человек, что если он пьет, то пьют все.
Это следует, в конечном счете, из странного принципа,
согласно которому из ложного утверждения следует любое
утверждение.
Взглянем на проблему со следующей точки зрения. Утверждение
о том, что все пьют, либо истинно, либо ложно. Предположим,
что оно истинно. Выберем кого-нибудь и назовем его Джимом.
Так как все пьют и Джим пьет, то верно, что если Джим пьет,
то пьют все. Следовательно, существует, по крайней мере,
один такой (а именно Джим) человек, что если он пьет, то пьют
все.
Предположим теперь, что наше утверждение ложно, то есть не
верно, что все пьют. Что тогда? В этом случае существует,
по крайней мере, один человек (назовем его Джимом), который не
пьет. Поскольку не верно, что Джим пьет, то верно, что е с л и
Джим пьет, то пьют все. Следовательно, и в этом случае
существует такой человек (а именно Джим), что если он пьет,
то пьют все.

80. Решение

Перейдем теперь к «двойственному» принципу, согласно
которому существует такой человек, что если ктонибудь вообще пьет, то он пьет. Иначе говоря, либо
существует по крайней мере один человек, который
пьет, либо не существует. Если ни одного пьющего не
существует, то выберем любого и назовем его Джимом.
Поскольку не верно, что кто-нибудь пьет, то верно, что е
с л и кто-нибудь пьет, то Джим пьет. С другой стороны,
если существует кто-нибудь пьющий, то возьмем любого
пьющего и назовем его Джимом. Тогда верно, что если
кто-нибудь пьет, и верно, что и Джим пьет.
Следовательно, верно, что если кто-нибудь пьет, то
Джим пьет.[1]
[1] Смаллиан Р. Как же называется эта книга, М.,1981.
С.206.

81. Требования к тезису

Требование ясности и точности – тезис
доказательства или опровержения должен быть ясно и
точно сформулирован.
Этого требует логический закон тождества. Примерами не
ясной формулировки тезисов могут служить высказывания
типа: «эта книга плохая». Не трудно заметить, что смысл
таких ключевых терминов как «плохая» совершенно не
ясен. Но именно под формулировки такого рода тезисов
можно подобрать массу весьма «убедительных» оснований.
Чем менее ясно и точно выражена мысль в формулировке
тезиса, тем больше неопределенности она предполагает.

82. Требования к тезису

Требование неизменности – на протяжении всего процесса
доказательства или опровержения содержание тезиса не должно
изменяться.
Если это правило нарушается, то происходит то, что в логике
называют «подменой тезиса».
Так, например, один из научно-популярных журналов вышел со
статьей под сенсационным заголовком «Снежный человек
существует!». Таков был тезис, доказательством которого должна
была, по замыслу журнала, явиться данная статья.
Действительный же вывод, к которому пришли весьма серьезные и
уважаемые ученые, написавшие статью, гласил: «существование
снежного человека не противоречит современным научным
взглядам на эволюцию», а значит «снежный человек возможно
существует». Последнее высказывание носит лишь вероятностный
характер и не является тождественным исходному тезису,
сформулированному в заголовке. Такова природа многих
сенсаций.

83. Требования к основаниям

Требование истинности – в качестве оснований должны
использоваться только истинные высказывания. Если данное
требование не выполняется, то становится весьма
затруднительным и практически невозможным установление
отношения логического следования между основаниями как
посылками и доказываемым или опровергаемым тезисом как
заключением.
Требование независимости - истинность каждого из оснований
не должна быть доказана ни с помощью других оснований,
используемых в данном доказательстве или опровержении, ни с
помощью доказываемого или опровергаемого тезиса. В противном
случае получается «порочный круг»: оправдание истинности
оснований пытаются найти в самих же основаниях или в еще
недоказанном с их помощью тезисе, т.е. в еще не установленной с
помощью доказательства, а следовательно, и с помощью этих же
самых оснований, истинности тезиса.

84. Требования к основаниям

Требование ясности и точности – высказывания,
используемые в качестве оснований, должны быть ясно и точно
сформулированы.
При формулировке высказываний, выступающих в роли оснований
доказательства или опровержения, следует использовать только
те языковые выражения, смысл и значение которых известны
адресату. В противном случае доказательство или опровержение
хотя и может быть вполне логичным с точки зрения теории, но не
убедительным на практике. Так в одной из телепередач,
посвященной социальным проблемам современной России,
известный ученый-историк высказал мнение о связи многих
проблем российской жизни с тем, что в характере русского
человека преобладают черты аттрактивности. Вряд ли этот
аргумент позволил прояснить суть дела и убедить большинство
людей в справедливости взгляда ученого на российскую жизнь. А
аттрактивность, как ее определяют толковые словари, это,
оказывается, абстрактное влечение человека к идеям добра,
справедливости и правды, при котором игнорируются конкретные
реалии жизни.

85. Требования к основаниям

Требование достаточности – совокупность высказываний,
выступающих в качестве оснований, должна быть достаточной для
доказательства или опровержения тезиса.
Например, преподаватель, листая свой журнал, где он фиксирует
выполнение студентами контрольных заданий по логике, останавливается
вдруг на фамилии одного из них и спрашивает, почему данный студент
пропустил большую часть занятий. Не трудно заметить, что вопрос
содержит в себе некоторый тезис, доказательство истинности которого не
предвещает ничего хорошего студенту. Наиболее «логичный» выход в этой
ситуации – не впадать в уныние и признаваться во всех совершенных и
несовершенных грехах, а вежливо поинтересоваться его основаниями. А
они состоят в том, что ряд контрольных заданий данного студента не
поступил на проверку к преподавателю. Обычный же учет посещаемости
не велся. Тогда наш студент может заявить, что он аккуратно
присутствовал на всех занятиях, но, затрудняясь с выполнением заданий,
не успевал их во время сдавать на проверку. Основания, использованные
преподавателем, в данном случае являются не достаточными для
доказательства того, что студент не посещал занятий, что может несколько
смягчить участь нерадивого студента.

86. Требования к основаниям

Требование непротиворечивости – высказывания,
используемые в качестве оснований в доказательствах и в
опровержениях не должны противоречить друг другу.
Появление противоречий в доказательстве приводит к его
«разрушению». Если базисный набор высказываний противоречив,
то с такими «основаниями» можно доказать все, что угодно.
Известное подтверждение правильности этого требования,
принадлежащее выдающемуся логику и математику Бертрану
Расселу. Если это требование правильно, попросили Рассела, то
докажите, например, что вы Папа Римский. Подумав некоторое
время, Рассел предложил следующее доказательство:
Если 2+2=4 и 2+2=5, то 4=5. Тогда, вычитая из левой и правой
частей данного равенства одно и то же число 3, мы получим новое
равенство 1=2. Поменяем местами правую и левую части: 2=1.
Рассел и римский Папа это два человека, но если 2=1, то это один
человек. Следовательно, Рассел и Папа Римский есть одно и то
же лицо. В данном случае выражение «следовательно» не
фиксирует в действительности отношения логического
следования, а лишь создает иллюзию такого отношения.

87. Требования к демонстрации

Основным требованием, предъявляемым к
демонстрации, т.е. к способам или
методам логического выведения тезиса из
своих оснований, является требование о
строгом соблюдении
последовательности и правильности
применения определенных логических
правил, операций или «шагов алгоритма»
самого доказательства или опровержения.

88. Упражнение 1.

Соблюдены ли правила доказательства (какие) в
следующем рассуждении:
У первого начала термодинамики было три
автора: Майер, Джоуль и Гельмгольц. У
второго — два автора: Карно и Клаузиус, а у
третьего — всего один автор: Нернст.
Следовательно, число авторов четвертого
начала термодинамики должно равняться
нулю, т.е. такого закона просто не может
быть. Таким образом, Нернст завершил
разработку фундаментальных законов
термодинамики.

89. Пример:

"Все предметы состоят из атомов и
молекул, а логика как наука есть предмет,
значит, она тоже состоит из атомов и
молекул".
Данное рассуждение по форме соответствует
прямому доказательству, но здесь имеет место
явная подмена тезиса: слово "предмет"
употреблено в разном значении, поэтому тезис
"логика состоит из атомов и молекул" не следует с
необходимостью из данных аргументов.

90. Упражнение

Пополните информацию оснований
доказательства таким образом, чтобы
тезис оказался доказанным.
1. Этот человек имеет право
участвовать в выборах (поскольку по
достижении совершеннолетия всякий
дееспособный человек имеет право
участвовать в выборах).