Прямые и плоскости в пространстве

1.

2.

Тема.
Прямые и
плоскости в
пространстве.

3.

План лекции
1. Основные определения и обозначения.
2. Взаимное расположение плоскости и
точки.
3. Взаимное расположение прямой и
плоскости.
4. Способы задания плоскости.
5. Параллельность прямой и плоскости.
6.Перпендикулярность прямой и
плоскости.
7. Взаимное расположение плоскостей.

4.

Стереометрия – раздел
геометрии, в котором
изучаются фигуры в
пространстве. В стереометрии
свойства геометрических
фигур устанавливаются путём
доказательства различных
теорем.

5.

При этом фундаментальными
являются свойства основных
геометрических фигур,
выражаемыми аксиомами.
Основными фигурами в
пространстве являются точка,
прямая, плоскость.

6.

1. Основные определения и
обозначения.
Точки и прямые в
пространстве обозначаются
также как и на плоскости –
большими и маленькими
латинскими буквами
соответственно. Например,
точки А и B, прямые а и b.

7.

Если заданы две точки,
лежащие на прямой, то
прямую можно обозначить
двумя буквами,
соответствующими этим
точкам. К примеру,
прямая АВ или ВА проходит
через точки А и В.

8.

Плоскости принято
обозначать маленькими
греческими буквами,
например, плоскости
, , ,

9.

При решении задач возникает
необходимость изображать
плоскости на чертеже.
Плоскость обычно
изображают в виде
параллелограмма или
произвольной простой
замкнутой области.

10.

11.

2. Взаимное расположение
плоскости и точки.
Аксиома 1. В каждой
плоскости имеются точки.
Следовательно первый
вариант взаимного
расположения плоскости и
точки – точка может
принадлежать плоскости.

12.

На заданной плоскости в
пространстве имеется
бесконечно много точек.
Следующая аксиома
показывает, сколько точек в
пространстве необходимо
отметить, чтобы они
определяли конкретную
плоскость.

13.

Аксиома 2. Через три точки, не
лежащие на одной прямой,
проходит плоскость, причем
только одна. Если известны
три точки, лежащие в
плоскости, то плоскость
можно обозначить тремя
буквами, соответствующими
этим точкам.

14.

Аксиома 3. Имеются по
крайней мере четыре точки,
не лежащие в одной
плоскости.
В силу предыдущей
аксиомы четвертая точка
может как лежать на этой
плоскости, так и не лежать.

15.

3. Взаимное расположение
прямой и плоскости.
Между прямой и плоскостью
существует взаимосвязь.
Рассмотрим три возможных
варианта взаимного
расположения прямой и
плоскости в пространстве.

16.

1. Прямая параллельна
плоскости, если она не имеет с
плоскостью общих точек.

17.

2. Прямая пересекает
плоскость, если она имеет с
плоскостью ровно одну общую
точку.

18.

3. Прямая лежит в плоскости,
если каждая точка прямой
принадлежит этой плоскости.

19.

4. Способы задания плоскости.
Плоскость можно задавать
различными способами,
например, аналитически,
когда плоскость задана
уравнением. Мы рассмотрим
аксиоматический способ
задания.

20.

Способ 1. Плоскость в
пространстве однозначно
задаётся тремя точками не
лежащими на одной прямой.

21.

Способ 2. Плоскость в
пространстве однозначно
задаётся прямой и точкой, не
лежащей на этой прямой.

22.

Способ 3. Плоскость в
пространстве однозначно
задаётся двумя
пересекающимися прямыми.

23.

Способ 4. Плоскость в
пространстве однозначно
задаётся двумя
параллельными прямыми.

24.

5. Параллельность прямой и
плоскости.
Признак параллельности
прямой и плоскости. Если
прямая a параллельна
некоторой прямой, лежащей в
плоскости, то прямая a
параллельна этой плоскости.

25.

Другое важное утверждение,
которое нередко используется
в задачах – это теорема о
пересечении двух плоскостей,
одна из которых проходит
через прямую, параллельную
другой плоскости.

26.

Теорема 1. Пусть прямая b
параллельна плоскости π.
Если плоскость проходит
через прямую b и пересекает
плоскость π по прямой c, то
b || c.

27.

28.

6. Перпендикулярность
прямой и плоскости.
Важным частным случаем
пересечения прямой и
плоскости является их
перпендикулярность. Дадим
определение
перпендикулярости.

29.

Опр. Прямая называется
перпендикулярной плоскости,
если она перпендикулярна
любой прямой, лежащей в
этой плоскости.
Рассмотрим теперь
различные теоремы о
перпендикулярности.

30.

Теорема 2. Через любую точку
пространства проходит
прямая, перпендикулярная к
данной плоскости, и притом
только одна.
Теорема 3. Если две прямые
перпендикулярны к
плоскости, то
они параллельны.

31.

32.

7. Взаимное расположение
плоскостей.
1. Пересечение плоскостей.
Если две плоскости имеют
общую точку, то они имеют
общую прямую, на которой
лежат все общие точки этих
плоскостей: