Основные уравнения аэродинамики. Основные допущения

1.

ОСНОВЫ АЭРОДИНАМИКИ
ЛЕКЦИЯ № 3
Тема 3
Основные уравнения аэродинамики

2.

Лекция № 3
Рассматриваемые вопросы:
3.1 Основные допущения.
3.2 Уравнение состояния идеального газа.
3.3 Уравнение неразрывности.
3.4 Уравнения движения невязкого газа (уравнения
Эйлера).
3.5 Уравнение сохранения энергии (уравнение Бернулли).
Литература:
1. Гарбузов В. М., Ермаков А. Л., Кубланов М. С., Ципенко В.
Г. Аэромеханика: Учебник для студентов вузов гражданской
авиации – М.: МГТУГА, 2000, 288 с.
2. Логвинов И. И. Аэромеханика: Учебное пособие М.
Иркутск: ИГТУ, 1998, 144 с.
3. Ништ М. И. Аэродинамика летательных аппаратов. Учебник
для ВУЗов. М.: ВВИА им. проф. Н. Е. Жуковского, 1994, 570
с.

3.

3.1 Основные допущения
Основные уравнения аэродинамики представляют собой
законы движения газа в поле взаимодействия их с
аэродинамическими телами.
Указанное взаимодействие возможно для случаев:
1) установившееся течения, не зависящего от времени t;
2) не установившееся течения, зависящего от времени t.
Неустановившаяся аэродинамика сложнейшая наука. Она
активно развивается. За ней будущее. Ныне многие её проблемы
решаются в поле ряда допущений:
течение установившееся;
среда сплошная, без разрывов и пустот;
распределение параметров по сечению струйки тока
равномерное.
Наши исследования познания основ аэродинамики построим на
основных уравнениях в поле установившегося течения и
взаимодействия подвижной среды и аэродинамического тела.

4.

3.1 Уравнение состояния идеального газа
Уравнение устанавливает взаимосвязь основных
параметров, характеризующих состояние
идеального газа:
H
р ρRT , 2 ,
м
или
H
рv RT , 2 ,
м
где: p, статическое давление, Па;
H
массовая плотность температура, 3 ;
м
T температура, К;
R = 287,14, Дж универсальная
кг К
газовая постоянная.

5.

3.2 Уравнение неразрывности
Определение:
При установившемся течении секундный массовый расход газа
через любое поперечное сечение струйки тока сохраняется
постоянным.
Gi
Gi = const
x
По определению имеем:
G1 = Gi = G2 = const, кг/с. (3.1)
Выражение (3.1) простейшая запись уравнения неразрывности.
В развёрнутом виде:
1 c1 S1 = i ci Si = 2 c2 S2 = const.
(3.2)
Здесь i и ci – плотность и нормальная к сечению i-i скорость потока,
а Fi – площадь этого нормального сечения исследуемого канала.

6.

Применение УН в аэродинамике
Сделать заключения по характер течения:
V1,
1
1) m1 = 1V1F1, кг/с уравнение расхода
2) V1F1 = V2F2, кг/с уравнение несжимаемого газа.
3) 1V1F1 = iVi Fi = 2V2F2 = const (газ сжимаем).
V1 F2
Следствие УН ViFi = const:
V2 F1

7.

Область применения уравнения
неразрывности
1) Взаимосвязь скорости и площади струйки:
i ci Fi = const: Si ci; ci i и др.
2) Профилирование каналов Лаваля:
ρi ci Fi const i
const i
Fi
:
ρ кр cкр ρкр cкр
q( i )
1,0
Fc
q( )
q( )
0
1,0
Mc

8.

3.3 Уравнения движения невязкого газа (уравнения
Эйлера)
Уравнение Эйлера об изменении количества
движения газового потока построено на втором
законе Ньютона (Р = т а) и теореме об импульсе
силы ( РΔt = mV2 - mV1).
Определение уравнения Эйлера о количестве движ.:
При установившемся течении векторная
сумма всех сил , действующих со стороны
газового потока как на исследуемый элемент
"f ", так и на выбранную контрольную
поверхность "F", равна суммарному
векторному секундному изменению
количества движения газа через эту
поверхность "F". (см. рисунок)

9.

Схема течения газового потока в решётке
профилей
.

10.

Уравнение Эйлера о количестве движения
При установившемся течении потока и известных граничных
условиях (р1, с1, р2, с2) в пределах выбранной контрольной
поверхности F (см. рисунок) с учётом теоремы импульсов
справедливо уравнение Л. Эйлера для количества
движения:
P P mc2 mc1 , Н.
F
f
F
Силу РF, действующую на исследуемый профиль, и е`
проекции можно определить по легко замеряемым
давлению р и абсолютной скорости в точках
контрольной поверхности F.

11.

3.5 Уравнение сохранения энергии
(уравнение Бернулли)
3.5.1 Уравнение сохранения энергии
Энергия струи тока не исчезает и не возникает, а лишь из
одного вида переходит в другой посредством энергообмена в
виде внешней работы Lвн и (или) теплоты Qвн .
Виды энергии:
1) Внутренняя энергия (энтальпия)
k
i = C pT =
RT.
k -1
2
ρс
2) Кинетическая энергия
Wк =
.
2
ω2
3) Энергия вращательного движения
Wω = J
.
2
4) Энергообмен посредством механической работы Lвн и
теплоты Qвн. Тогда УСЭ в полном виде можно представить:

12.

Уравнение сохранения энергии в развёрнутом виде
c
ω
c
ω
i1 J
Lвн Qвн i2 J
.
2
2
2
2
При допущении Lвн = Qвн = = 0 получим:
2
1
2
1
2
2
2
2
c12
c22
k
RT , a k 1, 4.
i1 + = i2 = const. Здесь i C pT
k 1
2
2
где: k показатель адиабаты (воздух - k = 1,4);
Для струйки при: Еi = const справедлива запись:
2
ci2
c
k
ii + =
RiTi i const : Определение :
2
k 1
2
При установившемся течении полная энергия по
длине струйки тока сохраняется постоянной!!!

13.

3.5.2 Уравнение Бернулли
Уравнение Бернулли получено при совместном решении
уравнения сохранения энергии и уравнения первого закона
2
2
2
термодинамики.
ρ c -ρ c
Дж
Определение:
Lвн = vdp +
1
2 2
1 1
2
+ Lr ,
кг
.
Внешняя механическая работа, подводимая к газу,
расходуется на политропное повышения давления,
приращение кинетической энергии и преодоление
гидравлического сопротивления.
Линеаризованное уравнение Бернулли позволяет получить
закон взаимосвязи статического давления с кинетической
энергией потока в энергоизолированной струйке тока:
Проблема: коэффициент давления
2
ρV
*
p = pст +
= const, Па.
решить самостоятельно!
2

14.

Области применения уравнения Бернулли
Вид общий, развёрнутый:
• для воздушного винта