Гидромеханика. Основные понятия и определения

1. ГИДРОМЕХАНИКА

Является предшествующей дисциплинам:
«Судовые вспомогательные механизмы, системы и устройства»,
«Судовые котельные и паропроизводящие установки»,
«Судовые холодильные установки и системы кондиционирования
воздуха», «Судовые двигатели внутреннего сгорания»,
«Судовые турбомашины».

2. Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

1.1. Предмет гидромеханики. Модель сплошной
среды
Гидромеханика изучает законы равновесия и движения
жидкостей и газов, их взаимодействие с омываемыми ими
поверхностями твердых тел.
Гидромеханика разделяется на статику (гидростатику),
кинематику и динамику.
ФГБОУ ГУМРФ

3.

Модель сплошной среды
Жидкости и газы рассматриваются как сплошная среда, которой
приписываются
физические
свойства,
феноменологически
отражающие их молекулярную структуру.
Основные положения модели:
• Любой малый макроскопический объём имеет такие же свойства,
что и объём сравнительно больших размеров
• Все физические свойства жидкостей и газов считаются
непрерывными функциями координат и времени
• Производные от этих функций также являются непрерывными
функциями координат и времени.

4.

Модель сплошной среды
Эти допущения корректны:
• если размеры рассматриваемой области жидкости или
газа велики по сравнению с размерами молекул и длиной
их свободного пробега
• если количество молекул в рассматриваемом объёме
достаточно, чтобы физические свойства можно было
считать непрерывными (газ не разреженный).

5.

Элементарный объём
Элементарный объём - это объём, размеры которого
много больше размеров молекул и расстояний их
свободного пробега, но много меньше размеров
рассматриваемого объёма жидкости.

6.

1.2. Физические свойства жидкостей и газов
• Сплошность – жидкости и газы движутся без образования
разрывов и пустот
• Текучесть - способность совершать непрерывное,
неограниченное движение в пространстве и времени под
действием приложенных сил или по инерции.
Следствия:
1. Жидкости и газы не имеют собственной формы и принимают
форму сосуда, в который они помещены.
2. Газ занимает весь предоставленный ему объём.

7.

1.2. Физические свойства жидкостей и газов
• Плотность – масса единицы объёма вещества,
,
кг
м3
• Удельный объём – объём, занимаемый 1 кг вещества, ( , м3/кг).
Fs
Fn
F
M , V
S
M
V
V
M
1
Под плотностью жидкости в данной
точке понимается :
F
М
lim
V 0 V

8.

1.2. Физические свойства жидкостей и газов
• тепловое расширение – способность жидкостей и газов изменять
свою плотность (удельный объём) при изменении температуры
Характеризуется коэффициентом теплового расширения t, К-1 :
1
t ;
T р
33
(1)
1
t
T p
Он равен относительному изменению плотности (объёма) при изменении
температуры на один Кельвин (К) при постоянном давлении

9.

1.2. Физические свойства жидкостей и газов
(тепловое расширение )
Проинтегрируем выражение (1) :
T1
1
t T T ln
T t T ;
0
0
1 0 e
0
ln
t (T1 T0 )
1
t T
Если плотность меняется незначительно, можно использовать
упрощённые формулы:
1 0 (1 t T )
1
1
t
;
; t
0 T р
0 T р
1 0 (1 t T )

10.

1.2. Физические свойства жидкостей и газов
• Объёмное сжатие– способность жидкостей и газов изменять
свою плотность (удельный объём) при изменении давления.
Характеризуется коэффициентом объёмного сжатия р, Па-1 :
1
р
р t
33
(2)
1
р .
p t
Он равен относительному изменению плотности (объёма) при
изменении давления на один Паскаль при постоянной температуре.

11.

1.2. Физические свойства жидкостей и газов (Объёмное
сжатие)
Проинтегрируем выражение (2) :
p p
p
;
p1
1
0
0
p p p ln
1 0 e
p p
Если плотность меняется незначительно, можно использовать
упрощённые формулы:
1
1
;
p
; p
0 p T const
0 p T const
1 0 (1 р р)
1 0 (1 р р)

12.

1.2. Физические свойства жидкостей и газов
Сжимаемость
Обратная коэффициенту р величина называется модулем
объёмной упругости Е, Па.
Для воды при атмосферном давлении модуль Е составляет
приблизительно 2000 МПа. Такого же порядка он и для других
капельных жидкостей, например, для минеральных масел он
равен приблизительно 1200 МПа.
Поэтому для многих задач сжимаемостью жидкостей можно
пренебречь.

13.

1.2. Физические свойства жидкостей и газов
Вязкость – способность жидкостей и газов к возникновению
сил трения между слоями, движущимися с разной скоростью
(или способность оказывать сопротивление относительному
смещению слоев).
При прямолинейном слоистом движении жидкости сила внутреннего
трения F между смещающимися слоями выражается формулой Ньютона:
w
F S
,
n
где
- динамический коэффициент вязкости, кг/(м c)= Па∙ с,
w
n
- величина градиента скорости.

14.

1.2. Физические свойства жидкостей и газов (вязкость)
Сила внутреннего трения
F между смещающимися
слоями выражается
формулой Ньютона
w
F S
,
n
Касательные напряжения:
F
dw
lim
S 0 S
dn

15.

1.2. Физические свойства жидкостей и газов (вязкость)
- динамический коэффициент вязкости, Н с кг Па с
2
м
м с
ν= /ρ - кинематический коэффициент вязкости , м2/с или мм2/с
(сантиСтокс).
СГС
ν
дин
см 2 с 1Пуаз
1 см2/с=1 Стокс
СИ
1 Пуаз=0,1 Па .с
1 Ст=10-4 м2/с
1 сСт=10-6 м2/с

16.

Условная вязкость жидкости
Условная вязкость жидкости (ВУ) измеряется в градусах Энглера, Е.
Условная вязкость - отношение времени истечения жидкости Δτ из
объёма V=200 мл через калиброванное отверстие диаметром d=6,2 мм
ко времени истечения в тех же условиях пресной воды Δτ в при
температуре t = 20 C (ВУ=Δτ/ Δτв).
0.063 4
0.073ВУ
10 , м2/с
ВУ
У жидкостей вязкость понижается при нагреве, а у газов повышается.

17.

Идеальная жидкость
В гидромеханике идеальной называется
невязкая и несжимаемая жидкость (ρ=const).
Идеальных жидкостей не существует, но в некоторых
случаях этими свойствами можно пренебречь.

18.

1.3. Силы, действующие на жидкость
Массовыми называются силы, приложенные ко всем точкам
объёма жидкости.
К ним относятся, например, сила тяжести и силы инерции.
Массовые силы характеризуются
вектором плотности
распределения массовых сил:
Fм 1
Fм 1 dFм
f м lim
lim
М 0 М
V 0 V dV

19.

Массовые силы
Вектор плотности распределения массовых сил – это сила,
действующая на единицу массы жидкости или газа.
Например, если на рассматриваемый
объём действует сила
Fg
M g
тяжести:
f g lim
lim
g
М 0 М
М 0 М
Если известна величина вектора плотности распределения
массовых сил, то легко определить массовую силу, действующую
на выделенный объем:
F = ∫(f∙ ∙dV)

20.

Поверхностные силы
В случаях, когда частицы жидкости, на которые
действуют силы, расположены в столь тонком слое,
что его можно свести к материальной поверхности,
такие силы называются поверхностными (силы
трения, давления, поверхностного натяжения).

21.

Поверхностные силы
Поверхностные силы
характеризуются напряжением.
F
Касательное напряжение: lim
S 0 S
Fn
Нормальное напряжение: p lim
.
S 0 S
Напряжение – это сила, действующая на единицу
поверхности.

22.

Силы, действующие на жидкость
Основное
различие
между
вектором
плотности
распределения массовых сил f и напряжениями заключается
в том, что вектор f
является однозначной функцией
координат и времени, т.е. образует векторное поле, тогда как
направление векторов напряжения в выбранной точке
зависит от ориентации площадки S, к которой приложено
напряжение, и потому их направление не определено
однозначно в каждой точке, следовательно, они векторного
поля не образуют.

23.

Силы, действующие на жидкость
Нормальные (по отношению к площадке ∆S)
касательные напряжения можно представить в виде:
p p n
и
где n и - орты нормали и касательной к площадке ∆S
соответственно.
Скалярные величины р и τ не зависят от положения
площадки ∆S и образуют скалярные поля.

24.

Контрольные вопросы
1. Что такое средняя плотность?
2. Что такое вязкость?
3. Какими коэффициентами оценивается вязкость и
как они связаны?
4. Какая жидкость называется идеальной?
5. Какие виды сил действуют в жидкости?
6. Что такое вектор плотности распределения
массовых сил?
7. Что такое напряжение?

25. Глава 2. ГИДРОСТАТИКА

Гидростатика изучает равновесие жидкостей и газов,
находящихся в состоянии покоя.
Состояние покоя – это такое состояние, когда частицы
среды не перемещаются относительно друг друга.
В покоящейся жидкости не происходит относительного
перемещения слоев, следовательно (по гипотезе Ньютона), в
ней отсутствуют касательные напряжения.
ФГБОУ ГУМРФ

26.

2.1. Гидростатическое давление и его
свойства
Нормальные напряжения в покоящейся
называются гидростатическим давлением.
жидкости
Свойства гидростатического давления:
• Давление всегда направлено по нормали к площадке, на
которую оно действует;
• Давление всегда стремится сжать выделенный объём;
• Величина гидростатического давления в данной точке
жидкости со всех сторон одинакова.

27.

Свойства гидростатического давления:
• Величина
гидростатического давления в данной точке
жидкости со всех сторон одинакова.
р
р
р
р
М
р
р

28.

2.2. Дифференциальные уравнения равновесия жидкости
(уравнения Эйлера ).
p=p(x,y,z)
z
Pz2
Пусть, давление в центре
параллелепипеда равно р.
Тогда, давление на левой грани будет:
Py1
dz
Fz
Px1
Fy
Px2
Fx
х
dy
Y
Py2
dx
Pz1
p x
р x1 ( p
)
x 2
Давление на правой грани будет:
p x
рx 2 ( p
)
x 2

29.

2.2. Дифференциальные уравнения равновесия жидкости
(уравнения Эйлера ).
z
Pz2
Силы давления на левую и правую
грани:
p x
Py1
Px1 ( p
dz
Fz
Px1
Fy
Px2
Fx
х
dy
Y
Py2
dx
Pz1
)dydz
x 2
p x
Px 2 ( p
)dydz
x 2
Проекция массовой силы на ось х:
Fx = fx ∙dxdydz
где fx - вектор плотности
распределения массовых сил

30. Уравнения Эйлера выражают 1-й закон Ньютона применительно к жидкостям и газам

Условие равновесия выделенного объема жидкости в проекции
на ось x :
Fx Px1 Px 2 0
p x
p x
f x dxdydz ( p
)dydz ( p
)dydz 0 : dxdydz
x 2
x 2
1 p
1 p
fx
0 Аналогично:
fy
0
x
y
1 p
fz
0
z

31. Дифференциальные уравнения равновесия жидкости (уравнения Эйлера ).

1 p
fx
0
x
1 p
fy
0
y
1 p
fz
0
z
1
f gradp
f fx i fy j fz k
p p p
gradp
i j k
x
y
z

32. 2.3. Основное уравнение гидростатики

Рассмотрим частный случай равновесия жидкости, когда из массовых сил на неё
действует только сила тяжести. Ось z направим вертикально вниз. Тогда fx = fy =0, fz =g
В этом случае уравнения Эйлера упрощаются:
1 p
0
x
1 p
0
y
1 p
g
z
p=const(x)
p=const(y)
В покоящейся
жидкости давление
меняется только по
вертикали, т.е. в любом
горизонтальном слое
жидкости давление во
всех точках одинаково

33. 2.3. Основное уравнение гидростатики

О
Интегрируя третье уравнение системы, получим:
р - gz = C, или р = gz + C.
Граничные условия:
при z=0
p=p0
С=р0.
p p0 gz
А
или
p p0 gh

34. 2.3. Основное уравнение гидростатики

p p0 gh
О
Следствие
А
Закон Паскаля: давление, приложенное к
свободной поверхности жидкости p0 ,
одинаково
передается
всем
точкам
жидкости по всем направлениям
р- ро= ри = gh называется манометрическим или, избыточным
давлением

35. 2.4. Способы измерения давления и вакуума

1. Пьезометр
pм p0 gН
p м pа ghр
pМ pa pи
hp
g
g
p0 gН pа gh р
p0 ра g (h p Н )
где ри - избыточное давление на
уровне присоединения пьезометра

36. 2.4. Способы измерения давления и вакуума

1. Пьезометр
pМ pa pи - пьезометрическая высота
hp
g
g
Избыточному давлению в 1бар=105 Па соответствует
пьезометрическая высота:
h1
p
H O
2
h2
p
Hg
10 5
10,2
9,81 1000
10 5
750,1
9,81 13595,1
м водяного столба;
мм ртутного столба;
γ=ρg – удельный вес жидкости.

37. 2.4. Способы измерения давления и вакуума

2. Вакуумметры
а)
p м pа gh2
p м p0 gh1
pа gh2 p0 gh1
М
М
pа p0
hвак
g
где hвак – вакуумметрическая высота

38. 2.4. Способы измерения давления и вакуума

2. Вакуумметры
б)
p м pа gh2
pм p0 gh1 gН
pа gh2 p0 gh1 gН
М
М
pа p0 g (hвак Н )
где hвак – вакуумметрическая высота

39. 2.4. Способы измерения давления и вакуума

3. Манометр

40. 2.4. Способы измерения давления и вакуума

3. Манометр
p м pа рт gh2
p м p gh рт gh1
pа рт gh2 p gh рт gh1
p pа gh( рт )

41. 2.4. Способы измерения давления и вакуума

3. Дифференциальный манометр
p м p1 gh3 рт gh1
p м p2 gh4 рт gh2
p1 gh3 рт gh1 p2 gh4 рт gh2
p1 p2 gh( рт )

42. 2.5. Простейшие гидравлические машины

Гидравлический пресс
Если к поршню 1 с площадью S1 прикладывается сила F1, то жидкость
будет передавать усилие на поршень 2 с площадью S2.
Гидростатическое
давление на поверхностях поршней
одинаково: F1 F2
p;
S1 S 2
S2
F2 pS 2 F1 .
S1
Тогда сила F2 будет больше силы F1 в
S2
S1
раз

43. 2.5. Простейшие гидравлические машины

Мультипликатор
В камере 1 к поршню площадью S1 приложена сила, созданная
гидростатическим давлением р1 .
Так как поршень камеры 2 площадью S2
воспринимает такую же силу, то он будет
создавать гидростатическое давление р2
большее, чем р1 :
S
p2 p1
1
S2
.
Тогда давление р2 будет больше давления р1 в
S1 раз.
S2

44. 2.6. Сила давления на плоскую стенку

К бесконечно малой
площадке dS
приложена
элементарная сила
давления dF:
dF pdS
p p0 gh

45. 2.6. Сила давления на плоскую стенку

dF p0 gh dS p0 dS gh dS.
F p0 dS g h dS p0 S g sin y dS
y
dS
s
s
s
s
- статический момент площади S относительно оси x.
Известно, что:
y dS y S
c
s
Тогда:
F p0 S g sin yc S p0 ghc S

46. 2.6. Сила давления на плоскую стенку

F p0 ghc S
Где hc y c sin - глубина погружения центра тяжести
площади S, yc - координата центра тяжести площади S
F F0 Fизб
где F0 - сила внешнего давления р0,
Fизб. ghc S
- сила избыточного давления

47.

2.6. Сила давления на плоскую стенку
Давление это распределённая нагрузка, которая
мысленно заменяется сосредоточенной силой F.
Для упрощения расчётов распределённую нагрузку
мысленно заменяют сосредоточенной силой F
(равной по величине суммарной силе давления).
Точка приложения этой силы называется центром
давления жидкости на заданную площадку

48.

2.6. Сила давления на плоскую стенку
Поскольку суммарная сила F складывается из
двух сосредоточенных сил F0 и Fизб, можно
отдельно найти центры давления этих сил.
Внешнее давление р0 передается всем точкам
площади одинаково, поэтому его
равнодействующая сила F0 будет приложена в
центре тяжести площади S (точка С).

49. 2.6. Сила давления на плоскую стенку

Для нахождения точки
приложения силы
избыточного давления Fизб
(точки Д) применяется
теорема механики: момент
равнодействующей силы
относительно оси x равен
моменту, создаваемому
распределённой нагрузкой).

50. 2.6. Сила давления на плоскую стенку

Уравнение моментов:
Fизб y D y dFизб
где yD - координата точки
приложения силы Fж.
Учитывая, что:
dFизб g sin ydS
и
Fизб. ghc S

51.

2.6. Сила давления на плоскую стенку
Получим:
ghc S yD g sin y dS
2
g sin y 2 ds
Jx
yD
g sin y c S
yc S
s
J x y ds - момент инерции площади S относительно
2
s
оси x (м4).

52.

2.6. Сила давления на плоскую стенку
Известно, что: J x J xc y c2 S
Jxc - момент инерции площади S относительно центральной
оси, параллельной оx (м4). Тогда координата точки приложения
силы избыточного давления Fизб :
J xc
y D yc
yc S

53.

2.6. Сила давления на плоскую стенку
Н
F3
F2
F1
S1
S2
S3
Сравните между собой силы давления на дно сосудов, если
S1=S2=S3

54. 2.7. Сила давления на криволинейную поверхность

dFизб . gy dS
dFверт. gy dS sin
dFверт. gy dS гор
dFгор. gy dS cos
dFгор. gy dS верт

55. 2.7. Сила давления на криволинейную поверхность

Fверт. gy dS гор gVт
где Vт – объём тела давления..
Это объём, ограниченный самой
криволинейной поверхностью,
свободной поверхностью жидкости
(или её мысленным продолжением)
и вертикальными поверхностями,
проведёнными через края
криволинейной поверхности.

56. 2.7. Сила давления на криволинейную поверхность

dFгор. gy dS верт
Fгор. gy dS верт gyс S верт
y dS
верт
yc S верт
s
где Sверт – вертикальная проекция
криволинейной поверхности;
yc.- глубина погружения центра
тяжести вертикальной проекции.

57. 2.7. Сила давления на криволинейную поверхность

Fверт. gVт
Fгор. gyс S верт
Fрез F
2
гор
F
2
верт
tg
Fверт
Fгор
где – угол наклона результирующей силы избыточного
давления к горизонту.

58. 2.7. Сила давления на криволинейную поверхность

Если жидкость
находится с
обеих сторон от
стенки, то в
каждой точке
давление слева и
справа на стенку
будет одинаково.
А, следовательно, и
результирующая
сила давления с
выпуклой и
вогнутой стороны
будет одинаковой .
P
P

59. 2.7. Сила давления на криволинейную поверхность

Поэтому
результирующая
сила давления с
выпуклой
стороны
определяется по
тем же формулам,
что и с вогнутой
стороны.
С
D
Fрез
P
В
Fверт. gVт
Fгор. gyс S верт
А
P
Fрез
Где Vт = VABCD ,
как с выпуклой,
так и с вогнутой
стороны стороны

60. 2.7. Сила давления на криволинейную поверхность

Представим
теперь, что
жидкость
находится только
с выпуклой
стороны, а с
вогнутой
стороны
находится воздух.
С
D
Fрез
P
В
Fверт. gVт
Fгор. gyс S верт
А
P
Fрез
Где Vт = VABCD ,
хотя жидкости в
этом объёме нет!

61. 2.7. Сила давления на криволинейную поверхность

Fверт. gVт
Fгор. gyс S верт
Fрез F
2
гор
F
2
верт
tg
Fверт
Fгор
где – угол наклона результирующей силы избыточного
давления к горизонту.

62. 2.8. Закон Архимеда

На погруженное в жидкость или газ тело действует
выталкивающая сила, равная весу вытесненной им жидкости и
приложенная в центре тяжести тела.

63. 2.8. Закон Архимеда

Fгор.
K
R
слева
Fгор.
справа
т.к. Sверт одинаковы
На поверхность АКB действует
сила:
На поверхность АRB действует сила:
FAKB gVMAKBN
FARB gVMARBN
Результирующая сила, действующая на тело со стороны жидкости
или газа:
FA ж g (VMARBN VMAKBN ) ж gVтела mж g

64. 2.9. Плавание тел

Собственный вес твердого тела G
приложен в центре тяжести тела D:
K
R
G т gV
Сила Архимеда приложена в
геометрическом центре
тяжести тела FA ж gVтела
Результирующая сила, действующая на тело:
Fрез ж gVтела т gVтела gVтела ( ж т )

65. 2.9. Плавание тел

Если
Fрез 0
K
R
Если:
ж т
ж т
Тело всплывает
Если ж т
Fрез 0
Fрез 0
Тело тонет
Тело в равновесии

66.

Контрольные вопросы
1. Что такое гидростатическое давление?
2. Какими свойствами обладает гидростатическое давление?
3. Основное уравнение гидростатики
4. Закон Паскаля
5. Как определить силу гидростатического давление на
плоскую стенку?
6. Как определить силу гидростатического давления на
криволинейную поверхность?
7. Сформулируйте закон Архимеда.

67. Глава 3. ОСНОВЫ КИНЕМАТИКИ ЖИДКОСТИ

Кинематика описывает движение жидкости без связи
с силами, определяющими его.
3.1. Способы задания движения жидкости
Существует два основных способа задания движения жидкости:
метод Лагранжа и метод Эйлера
ФГБОУ ГУМРФ

68. Метод Лагранжа

Для каждой мысленно выделенной i-й частицы жидкости
определяется траектория её движения:
yi yi (t )
wx xt
wy yt
ax xt
a y yt
z i z i (t )
wz zt
az zt
xi xi (t )

69. Метод Эйлера

Метод Эйлера, заключается в задании поля скоростей:
wx wx ( x, y, z, t )
w y w y ( x, y , z , t )
wz wz ( x, y, z, t )
(т.е. в задании зависимостей трёх проекций скорости от
координат и времени)

70.

Основное отличие в методах Лагранжа и
Эйлера заключается в том, что в первом
случае x, y, z – переменные координаты
движущейся частицы, а во втором – это
координаты фиксированных точек
пространства, через которые в данный
момент времени проходят частицы
жидкости.

71. Метод Эйлера

Метод Эйлера, заключается в задании поля скоростей:
wx wx ( x, y, z, t )
w y w y ( x, y , z , t )
wz wz ( x, y, z, t )
dwx wx wx x wx y wx z
ax
dt
t
x t y t
z t
wx
wx
wx
wx
wx
wy
wz
;
t
x
y
z

72. Проекции ускорения на координатные оси:

wx
wx
wx
wx
ax
wx
wy
wz
;
t
x
y
z
ay
wy
t
wx
wy
x
wy
wy
y
wz
wy
z
wz
wz
wz
wz
az
wx
wy
wz
t
x
y
z

73.

Члены
wx
,
t
w y
t
,
w z
t
показывают интенсивность изменения скорости во времени
для частицы,
проходящей точку с координатами x, y, z в момент времени t –
это локальные или местные ускорения .
Остальные три члена в каждом уравнении показывают интенсивность
изменения скорости в пространстве, т.е. определяют ускорение частицы
в связи с её переходом в соседнюю точку с другим значением скорости это конвективные ускорения частиц.

74.

Конвективные ускорения показывают интенсивность изменения
скорости в пространстве, тогда как локальные ускорения показывают
интенсивность изменения скорости во времени

75. 3.2. Поток жидкости и его характеристики

Если параметры движения не зависят от времени,
то такое движение называется стационарным.
Если параметры движения зависят от времени,
то такое движение называется нестационарным.

76. Линией тока называется такая линия в потоке жидкости, в каждой точке которой вектор скорости направлен по касательной к этой

Линией тока называется такая линия в потоке жидкости, в
каждой точке которой
касательной к этой линии
вектор
скорости
направлен
по

77. След движения частицы называется ее траекторией. В случае стационарного поля скоростей линии тока и траектории совпадают.

Скорость жидкости в данной точке потока называется
местной скоростью.
w
wdt
t
t
- средняя по времени скорость в данной
точке

78. Распределение векторов скорости по нормальному сечению потока называется профилем скорости.

Движение, при котором профиль скоростей во всех сечениях
одинаков, называется установившимся.

79.

Установившееся и неустановившееся движение
Вблизи входного участка трубы движение неустановившееся, а в
основной части трубы - установившееся движение

80.

Установившееся и неустановившееся движение

81.

Расход – это количество жидкости или газа, протекающее в единицу
времени через поперечное сечение потока.
Различают объёмный Q, м3/с и массовый G, кг/с расход жидкости:
M
V
Q ; G
t
t
Q w dS wср S
S
wср
wdS
S
S
- средняя по сечению скорость потока

82. Пространственным называется движение жидкости, параметры которого зависят от трех координат. Плоским называется движение

• Пространственным называется движение жидкости,
параметры которого зависят от трех координат.
Плоским называется движение жидкости, параметры
которого зависят от двух координат.
Линейным называется движение жидкости, параметры
которого зависят лишь от одной координаты.

83. Движение, при котором отсутствует перемешивание между слоями жидкости, линии тока плавные параллельные друг другу, называется

ламинарным или
слоистым.
Движение, при котором происходит перемешивание
слоёв, частицы жидкости движутся хаотически, параметры
потока пульсируют относительно своих средних
значений, называется турбулентным

84. 3.3. Уравнение неразрывности движения жидкости

Уравнение неразрывности выражает закон
сохранения массы применительно к потоку
движущейся жидкости или газа .
wx w y wz
0
t
x
y
z

85.

Для частных случаев движения жидкости уравнение
неразрывности будет упрощаться.
• для стационарного движения несжимаемой жидкости:
wx wy wz
div w
0
x
y
z
• для плоского стационарного движения несжимаемой жидкости:
wx wy
0
x
y
• Для линейного стационарного движения сжимаемой жидкости:
( wx )
x
0

86.

Для стационарного потока жидкости в непроницаемом канале
(все частицы жидкости движутся в одном направлении)
интегрирование уравнения неразрывности
даёт уравнение
сплошности в гидравлической форме:
G w dS w ср S const
S

87.

Следовательно, массовый расход жидкости G через
любое нормальное сечение потока S – величина
постоянная.
Для несжимаемой жидкости объёмный расход через
любое нормальное сечение потока - также величина
постоянная:
Q=wсрS=const
Откуда, для любых двух сечений потока: w1S1= w2S2
Следовательно, w2= w1S1/ S2.

88.

Контрольные вопросы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Какое движение называется стационарным?
Какое движение называется нестационарным?
Какое движение называется установившимся?
Что такое линия тока?
Что такое профиль скорости?
Какое движение называется плоским?
Что такое расход?
Что такое местная скорость?
Напишите уравнение сплошности в гидравлической
форме

89. 4. ДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ

Идеальной называется невязкая и несжимаемая
жидкость.
4.1. Уравнения движения идеальной жидкости
(уравнения Эйлера)
Уравнения движения Эйлера выражают 2-й закон Ньютона
применительно к потоку идеальной жидкости.
ФГБОУ ГУМРФ

90.

Дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости
(уравнения Эйлера ).
z
Pz2
Силы давления на левую и правую
грани:
p x
Py1
Px1 ( p
dz
Fz
Px1
Fy
Px2
Fx
х
dy
Y
Py2
dx
Pz1
)dydz
x 2
p x
Px 2 ( p
)dydz
x 2
Проекция массовой силы на ось х:
Fx = fx ∙dxdydz
где fx - вектор плотности
распределения массовых сил

91. Уравнения Эйлера выражают 2-й закон Ньютона применительно к жидкостям и газам

Уравнение движения выделенного объема жидкости в проекции
на ось x :
dwx
Fx Px1 Px 2 dxdydz
dt
dwx
p x
p x
f x dxdydz ( p
)dydz ( p
)dydz dxdydz
: dxdydz
x 2
x 2
dt
dwy
1
p
1 p dwx
Аналогично: f y y dt
fx
x
dt
1 p dwz
fz
z
dt

92.

Дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости
(уравнения Эйлера ).
1 p dwx
fx
x dt
1 p dwy
fy
y
dt
1 p dwz
fz
z
dt
wx
wx
wx
1 p wx
fx
wx
wy
wz
;
x
t
x
y
z
wy
wy
wy
1 p wy
fy
wx
wy
wz
y t
x
y
z
1 p wz
wz
wz
wz
fz
wx
wy
wz
z
t
x
y
z

93.

1 p dwx
fx
x dt
1 p dwy
fy
y dt
1 p dwz
fz
z
dt
wx w y wz
0
t
x
y
z
1
dw
f gradp
dt
Уравнение неразрывности
идеальной жидкости нужно
присоединить к системе,
чтобы она была замкнута.

94.

Для того, чтобы система
была замкнутой, к ней
необходимо присоединить уравнение неразрывности.
Граничные условия при обтекании невязкой жидкостью
твердых поверхностей :
• условие скольжения - на твёрдой стенке касательная
к поверхности составляющая скорости жидкости
равна скорости в потоке (т.е. стенка не оказывает
тормозящего влияния на идеальную жидкость)
• условие непротекания - равенство нулю на стенке
нормальной составляющей скорости.

95.

Условие скольжения
W
на твёрдой стенке касательная к поверхности составляющая
скорости жидкости равна скорости в потоке

96. 4.2. Уравнение Бернулли для идеальной жидкости

Пусть идеальная жидкость движется в
потенциальном поле массовых сил с потенциалом
П.
Это означает, что существует такая функция П ,
что:
f grad
f
- вектор плотности распределения массовых сил

97.

Это означает, что:
П
fx
x
П
fy
y
П
fz
z
Подставим эти выражения в уравнения движения Эйлера:
П 1
x
П 1
y
p dwx
x
dt
p dwy
y
dt
П 1 p dwz
z
z
dt
dx
dy
dz
dw
p
grad
dt
Или:
w2
p
d
0
2

98.

Получим:
П
П
П
1 p
p
p
(
dx
dy
dz ) ( dx dy dz )
x
y
z
x
y
z
dwy
dwx
dwz
dx
dy
dz ; заметим, что:
dt
dt
dt
2
dw
dw
dw
w
y
П
П
П
x
z
dx
dy
dz d ( )
dx
dy
dz dП
dt
dt
dt
2
x
y
z
p
p
p
2
dx dy dz dp
w
p
d
0
x
y
z
2

99.

Обозначим
Тогда:
w2
p
B
2
- трёхчлен Бернулли
dВ 0
Следовательно:
2
w
p
B
const
2
Следовательно, вдоль линии тока трехчлен Бернулли
сохраняет постоянное значение.
Это выражение представляет собой закон Бернулли для
идеальной жидкости, движущейся в поле любых
потенциальных сил с потенциалом П.

100.

Рассмотрим частный случай, когда идеальная жидкость
движется в поле сил тяжести, других массовых сил нет, ось z
направлена вертикально вверх, тогда:
f g
С другой стороны:
П
fz
z
, откуда:
П
g
П gz C ,
z
где С – константа интегрирования.
w2 p
Подставим П в уравнение Бернулли: B
gz const
2
- закон Бернулли для тяжёлой несжимаемой жидкости.

101.

Закон Бернулли является частным случаем закона
сохранения энергии применительно к потоку движущейся
жидкости.
w2
2
p
- удельная (Дж/кг) кинетическая энергия потока;
- удельная (Дж/кг) потенциальная энергия сил
давления;
gz - удельная (Дж/кг) потенциальная энергия положения
жидкости в поле сил тяжести
В
-
полная удельная энергия потока (Дж/кг) - величина
постоянная

102. Уравнение Бернулли для потока идеальной жидкости

w2 p
B
gz const
2
Для двух произвольных сечений потока
идеальной жидкости на любой линии тока будет
справедливо уравнение
w12 p1
w22 p2
gz1
gz2
2
2

103. Уравнение Бернулли для потока идеальной жидкости

w2 p
B
gz const
2
Умножим левую и правую часть уравнения на ρ:
P*
w
2
1
2
w2
2
p gz const
p1 gz1
w
2
2
2
p2 gz 2
, Па

104.

Здесь
w 2
2
- скоростной напор, Па;
р
- гидростатическое давление, Па;
ρgz
- давление столба жидкости высотой z, Па;
Р*
-
полный напор, Па.

105. Уравнение Бернулли для потока идеальной жидкости

w2 p
B
gz const
2
Разделим левую и правую часть уравнения на g:
2
w
p
*
H
z const
2 g g
w12 p1
w22 p2
z1
z2
2 g g
2 g g
,м

106.

Здесь
w2
2g
- Скоростная высота, м;
р
- Пьезометрическая высота, м
g
z
- Нивелирная высота, м (это расстояние от
произвольной горизонтальной плоскости сравнения до
данной линии тока);
Н*
-
гидравлическая высота (полный напор в метрах).

107.

w2
hw
- Скоростная высота, м;
2g
р - Пьезометрическая
hp
высота,
м.
g
В движущейся жидкости величина давления зависит от
ориентации площадки, на которую оно действует.

108.

w2
Скоростную высоту hw
2g
можно определить по разнице
показаний прямого пьезометра и
изогнутого пьезометра, у которого
площадка, воспринимающая
давление, ориентирована
перпендикулярно потоку жидкости
и, следовательно, на нее действует и
гидростатическое давление, и
скоростной напор: hw = h0- hp, где
р
hp
g

109.

1. Полный напор Н*
сохраняет своё
значение;
2. В узком сечении
увеличивается скорость
потока, а
гидростатическое
давление жидкости
уменьшается,
(потенциальная энергия
давления переходит в
кинетическую энергию)

110.

3. В сечении 4 уменьшается
скорость потока, а
гидростатическое давление
жидкости увеличивается,
(кинетическая энергия
потока переходит в
потенциальную энергию
давления) ;
4. Нивелирная высота
уменьшается - потенциальная
энергия положения
переходит в потенциальную
энергию давления:
h p 5 h p1