Описанная и вписанная окружности треугольника

1.

2.

В
А
С

3.

На каком рисунке окружность описана около треугольника:
1
2
4
3
5
Если окружность описана около треугольника,
то треугольник вписан в окружность.

4.

Заметим, около треугольника можно описать только одну
окружность
В
p
О
А
k
n
С

5.

6.

На каком рисунке окружность вписана в треугольник:
1
4
2
3
5
Если окружность вписана в треугольник,
то треугольник описан около окружности.

7.

В
С1
А
А1
О
В1
С
Заметим, в треугольник можно вписать окружность,
и притом только одну.

8.

В
А
О
r
С

9.

a b c
r
2

10.

О

11.

О

12.

13.

14. Касательная к окружности

Определение: Прямая,
имеющая с
окружностью только
одну общую точку,
называется
касательной к
окружности, а их
общая точка
называется точкой
касания прямой и
окружности.
M
m
s=r
O

15. Свойство касательной: Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

m – касательная к
окружности с
центром О
М – точка касания
OM - радиус
m OM
M
m
O

16. Свойство касательных, проходящих через одну точку:

▼ По свойству касательной
Отрезки касательных к
1 90o , 2 90o.
окружности, проведенные
из одной точки, равны и
∆АВО, ∆АСО–прямоугольные
составляют равные углы
∆АВО=∆АСО–по гипотенузе и
с прямой, проходящей через
эту точку и центр окружности. катету:
В
1
О
3
4
2
С
А
ОА – общая,
ОВ=ОС – радиусы
АВ=АС и
3 4
▲

17. Признак касательной: Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна радиусу, то она

M
окружность с центром О
радиуса OM
m – прямая, которая проходит
через точку М
и
m OM
m – касательная
m
O

18.

Теорема: Вписанный угол равен половине дуги,
на которую он опирается. Центральный угол
равен дуге, на которую он опирается.
А
O
В
С

19.

Следствие: Вписанные углы, опирающиеся на
одну и ту же дугу равны.
Н
А
К
М
В
С

20.

Следствие: Вписанный угол, опирающийся на
диаметр - прямой.
С
А
.
О
В

21.

Угол между двумя секущими равен
полуразности большей и меньшей дуг,
образованных этими секущими.
А
ВAC = ½ ( DF - BС ).
В
С
О
D
F

22.

Угол между касательной и хордой равен
половине градусной меры дуги, стягиваемой
хордой.
А
ACB = ½ CB
С
B

23.

Теорема: Если две хорды окружности
пересекаются, то произведение отрезков одной
хорды равно произведению отрезков другой
хорды.
А
С
2
1
3
4
E
D
В

24.

Теорема: Если из одной точки проведены к
окружности касательная и секущая, то произведение
всей секущей на её внешнюю часть равно квадрату
касательной.
А
...
С
. B
.
.
O
D

25.

Если все вершины многоугольника лежат на
окружности, то окружность называется описанной
около многоугольника.
А многоугольник
С
В
D
О
А
E
называется
вписанным в эту
окружность.

26.

В любом вписанном четырехугольнике сумма
противоположных углов равна 1800.
В
А
О
1
А ВCD
2
+
1
C ВAD
2
3600
D
1
А С ( ВСD ВАD )
2
С
А С 1800

27.

Верно и обратное утверждение.
Если сумма противоположных углов
четырехугольника равна 1800, то около него можно
вписать окружность.
В
А
670
А
1000
D
В
990
О
1130
770
О
800
1230
С
D
790
С