Теорема Фалеса

1.

Теорема Фалеса
Если
параллельные
прямые на одной
прямой
отсекают
равные отрезки,
то они отсекают
равные отрезки и
на другой
прямой
a1 // a2
l₁
a1
a2
l₂
l₃
a1 // a2
l₁
l₂
l₃
параллелограммы
a1 a2
a // a1

2.

B
F
ТЕОРЕМА МЕНЕЛАЯ
CK//AB
k g
∆KCE∾∆FAE
; 1
l
∆BFD∾∆CKD
D
t n
; 2
s g
K
g
A
m
ℓ
C
k t n
1 2
l s m
m
n
k
E
k m t
1
l n s

3.

Р. К. Г о р д и н

4.

№6.1. На медиане АМ треугольника АВС взята точка К,
причём АК:КМ=1:3. Найдите отношение, в котором прямая,
проходящая через точку К параллельно АС, делит сторону ВС.
А
CN 1
NB 7
x
K
3x
В
4y
M
3y
Ny С
1: 7

5.

№6.2. Дан треугольник АВС. На продолжении
стороны АС за точку С взята точка N, причем
СN=АС; точка К- середина стороны АВ. В каком
отношении прямая KN делит сторону ВС?
TМенелая АВС; NK секущая :
a b BM
1
2a b MC
В
b
K
M
N
a
С
a
BM 2
MC 1
b
А
2 :1

6.

№6.3. На стороне ВС треугольника АВС и на продолжении
стороны АB за вершину В расположены точки М, К
соответственно, причём ВМ:MC=4:5 и KB:BA=1:5. Прямая КМ
пересекает сторону АС в точке N. Найдите отношение CN:AN .
TМенелая АВС; NK секущая : b
С
5a
N
AN 5a
1
6b NC 4a
AN 24
NC 5
M
K
4a
b В
5b
А
5 : 24

7.

№6.4. На сторонах АВ и АС треугольника АВС расположены
точки К и L , причём AK:KB=4:7 и AL:LC=3:2. Прямая КL
пересекает сторону BС в точке M. Найдите отношение CM:BC .
MC 7 a 3b
TМенелая АВС; KL секущая :
1
MB 4a 2b
А
K
7a
В
4a
MC 8
MB 21
3b
L
2b
С
M
MC 8
BС 13
8 : 13

8.

№6.5. На сторонах АВ и ВС параллелограмма АВСD
расположены точки N и M соответственно , причём
AN:NB=3:2 и BM:MC=2:5. Прямые АМ и DN пересекаются в
точке O. Найдите отношения OM:OA и ON:OD .
14b
2b 14b 6b
20
OM
3
P
21b
7b
21
OA
ON
OD
3a
6
6a
25a 10a 25a 35
5a
2
2
7b 14b
В 2b M
3
3
T
20 : 21
N
3a
А
2a
O
5
5a 25a
2
2
5b
С
5a
7b
D
6 : 35

9.

№6.6. На сторонах АВ и АС треугольника АВС расположены
точки N и M , причём AN:NB=3:2 и AM:MC=4:5. Прямые ВМ
и СN пересекаются в точке О. Найдите отношения ОM:ОB и
ON:OC .
5b 3a BO
TМенелая АВM ; NC секущая :
1
9b 2a OM
В
3
2a
BO 6
N
OM 5
O
3a
OM 5
BO 6
А
4b
M
5b
С
5: 6

10.

№6.6. На сторонах АВ и АС треугольника АВС расположены
точки N и M , причём AN:NB=3:2 и AM:MC=4:5. Прямые ВМ
и СN пересекаются в точке О. Найдите отношения ОM:ОB и
ON:OC .
2a 4b CO
TМенелая АNC ; BM секущая :
1
5a 5b ON
В
CO
25
2a
ON
8
N
O
ON
8
3a
OC 25
А
4b
M
5b
С
8 : 25

11.

Г
О
Р
Д
И
Н
№
6
Отношение отрезков (Т-МЕНЕЛАЯ)

12.

№1. В равнобедренном треугольнике АВС высоты ВЕ и CН пересекаются в точке К, НК=3, НВ=6.
Найдите площадь треугольника КВС.
№2. В равнобедренном остроугольном треугольнике АВС основание АС=24, а расстояние от вершины В
до точки пересечения высот равно 7. Найдите площадь треугольника .
№3.(МФТИ-16) Равнобедренная трапеция ABCD вписана в окружность W . Пусть М- середина боковой
стороны, К- точка на окружности такая, что прямая МК параллельна основаниям трапеции AD и BC.
Найдите радиус окружности W, если ВС=11, AD=19, MK=2.

13.

14. В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S,
все рёбра которой равны 4, точка N — середина ребра AC,
точка O центр основания пирамиды, точка P делит отрезок
SO в отношении 3 : 1, считая от вершины пирамиды.
а) Докажите, что прямая NP перпендикулярна прямой BS.
б) Найдите расстояние от точки B до прямой NP.