Теоремы синусов и косинусов. Геометрия, 9 класс

1. Теоремы синусов и косинусов.

Геометрия, 9 класс.
МБОУ СОШ №90
Учитель математики и
информатики
Артанова Н.Е.

2.

Самостоятельная работа:
1 вариант:
8
150
2 вариант:
S 20
?
45
d1 8см
d 2 12см
S ?
?
45
5
S 18
S ?
60
6
8
d=10
30
d=8
S ?
75
S ?

3.

Проверь ответы:
1 вариант:
8
150
2 вариант:
10
S 20
d1 8, d2 12
45
S 24 2
4 3
45
5
S 20 2
S 18
60
6
8
d=10
30
d=8
S 16
75
S 25

4.

Теорема косинусов:
A
с
b
C
B
а
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов
двух других сторон минус удвоенное произведение
этих сторон на косинус угла между ними
a b c 2bc cos A
2
2
2

5.

6.

7.

Теорема синусов:
A
с
b
C
а
B
Стороны треугольника пропорциональны синусам
противолежащих углов
a
b
c
sin A sin B sin C

8. Теорема синусов

Замечание: Можно доказать, что отношение стороны
треугольника к синусу противолежащего угла равно
диаметру описанной окружности. Следовательно, для
любого треугольника ABC со сторонами AB=c, BC=a,
CA=b имеют место равенства
Где R – радиус описанной окружности.

9.

10.

11.

1) Запишите теорему синусов
для данного треугольника:
M
MN
NK
KM
sin K sin M sin N
K
N
2) Запишите теорему косинусов для вычисления
стороны МК:
MK NM NK 2 NM NK cos N
2
2
2

12.

Найдите угол В.
А
45
В
4
4 2
С
BC
AC
sin A sin B
AC sin A
sin B
BC
4 sin 45
sin B
4 2
1
sin B
2
B 30

13.

А
Найдите длину стороны ВС.
45
3
2 2
В
С
BC AC AB 2 AC AB cos A
2
2
2
BC (2 2 ) 3 2 2 2 3 cos 45
2
BC 5
2
2
2
BC 5

14.

А
Найдите длину стороны АВ.
2 2
60
В
С
5 2
AB AC CB 2 AC CB cos C
2
2
2
BC (2 2 ) (5 2 ) 2 2 2 5 2 cos 60
2
2
BC 38
2
2
BC 38

15.

M
M 45 , K 30 ,
45
KN 4 6
4 6
Найдите MN.
K
30
N
MN
KN
sin K sin M
4 6 sin 30
MN
sin 45
KN sin K
MN
sin M
MN 4 3

16.

A
α
с
b
C
γ
β
а
B
Запишите формулу для вычисления:
АВ
,если
если
С
,
АС
а b.
ВС
АС
АВ
ВС
А
са ,, АС
bС
,
,ВС
С,
В, если
ВВ
,
, A
С
2 sin 2
2
а
b
sin
а2 (
b c)
2 180
АС
В
.cos
ВСcos
АВ
сС bsin( 2bc
ab )
sin2

17. Используемые источники:

http://ppt4web.ru/geometrija/teoremysinusov-i-kosinusov0.html
http://nsportal.ru/shkola/geometriya/library
/2014/10/15/teorema-sinusov-i-kosinusov
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/com
mons/thumb/1/14/Johannes_Regiomontanus2
.jpg/500px-Johannes_Regiomontanus2.jpg
http://img1.liveinternet.ru/images/attach/c
/10/110/217/110217775_Nesreddi_tusi.jpg