Применение производной к исследованию функции (тема 10 - 11)

1.

Математика
Преподаватели:
Мовсисян Геворг Суренович,
Попова Ольга Николаевна

2.

Тема 10 и 11.
Применение
производной к
исследованию
функции

3.

План лекции
1. Монотонность функции.
2. Экстремум функции.
3. Наибольшее и
наименьшее значение
функции.

4.

Очень важную информацию о
поведении функции
предоставляют промежутки
возрастания и убывания. Их
нахождение является частью
процесса исследования функции
и построения графика.

5.

1. Монотонность функции
Опр. Функция f (x )
называется возрастающей на
промежутке Х, если для
любого x1 , x2 X
таких, что x2 x1
выполняется неравенство
f ( x2 ) f ( x1 ).

6.

Обозначим
x2 x1 x
и f ( x2 ) f ( x1 ) f , тогда
видно, что x и f будут
иметь одинаковые знаки.
Следовательно, для
возрастающей функции
отношение приращений
функции и аргумента

7.

всегда будет положительно,
то есть
f
0
x

8.

Опр. Функция f (x )
называется убывающей на
промежутке Х, если для
любого x1 , x2 X
таких, что x2 x1
выполняется неравенство
f ( x2 ) f ( x1 ).

9.

Видно, что x x x и
2
1
f ( x2 ) f ( x1 ) f имеют
разные знаки, поэтому для
убывающей функции
f
0
x

10.

Опр. Функция f (x )
называется монотонной на
промежутке X, если на этом
промежутке она возрастает
либо убывает, а промежутки
возрастания или убывания
называются промежутками
монотонности.

11.

Теорема(Необходимое условие
возрастания функции)
Если дифференцируемая на
промежутке Х функция f (x )
возрастает, то её производная
не может быть отрицательной
ни в одной точке данного
промежутка, т.е f ( x) 0, x X .

12.

Теорема(Необходимое условие
убывания функции)
Если дифференцируемая на
промежутке Х функция f (x )
убывает, то её производная не
может быть положительной ни
в одной точке данного
промежутка, т.е f ( x) 0, x X .

13.

Теорема(О монотонности)
f (x)
Пусть функция
непрерывна на промежутке X
и имеет производную f (x )
в каждой точке внутри этого
промежутка. Тогда

14.

1. Если f ( x ) 0 для всех
x X , то функция f (x )
возрастает на Х.
2. Если f ( x ) 0 для всех
x X , то функция
убывает на Х.

15.

3. Если f ( x ) 0 для всех
x X , то функция
постоянна на Х.

16.

2. Экстремум функции
Опр. Точка x0 называется
точкой максимума функции
f (x ), если у этой точки
существует окрестность, для
всех точек которой
выполняется неравенство
f ( x) f ( x0 ).

17.

Опр. Точка x0 называется
точкой минимума функции
f (x ), если у этой точки
существует окрестность, для
всех точек которой
выполняется неравенство
f ( x) f ( x0 ).

18.

Опр. Точки максимума и
минимума называют
экстремальными
точками(или точками
экстремума).
Обозначения:
Точка максимума –
xmax
Точка минимума –x
min

19.

Опр. Значение функции в
экстремальных точках
называют максимумом –
f ( xmax ) f max
и минимумом–
f ( xmin ) f min
или экстремумами функции.

20.

Теорема. Если функция f (x )
имеет экстремум в точке
x x0 то в этой точке
производная функции либо
равна нулю, либо не
существует.

21.

Опр. Точки, в которых
функция непрерывна, а её
производная либо равна нулю,
либо не существует,
называются критическими
точками.

22.

Теорема (Первое достаточное
условие экстремума).
Пусть функция f (x )
непрерывна и
дифференцируема в некоторой
окрестности точки x0 . Тогда
справедливы следующие
утверждения:

23.

1. Если при переходе через
точку 0 производная меняет
знак с + на − , то 0
точка максимума.
2. Если при переходе через
точку 0 производная меняет
знак с − на + , то
0
точка минимума.
x
x
x
x

24.

Алгоритм исследования
функции на монотонность и
экстремум
1. Находим область
определения функции D ( f );
2. Находим производную
функции f (x );

25.

3. Находим критические
точки, для этого решаем
уравнение f ( x ) 0;
4. Отметим критические
точки на области определения.
Находим знак производной на
каждом интервале. Находим
промежутки монотонности по
Теореме(О монотонности);

26.

5. Определяем точки
экстремума по
Теореме(Первое достаточное
условие экстремума);
6. Вычисляем экстремумы
функции.

27.

Пример
Исследовать функцию на
монотонность и экстремум
f ( x) x 6 x 9 x 1
3
2

28.

3. Наибольшее и
наименьшее значение
функции
С практической точки зрения
наибольший интерес
представляет использование
производной для нахождения
наибольшего и наименьшего
значения функции.

29.

К тому же точкам экстремума,
в которых происходит смена с
возрастания на убывание или
с убывания на возрастание,
уделяется особое внимание
при нахождении наибольшего
и наименьшего значения
функции на некотором
интервале.

30.

Максимизация прибыли,
минимизация издержек,
определение оптимальной
загрузки оборудования...
Другими словами, во многих
сферах жизни приходится
решать задачи оптимизации
каких-либо параметров.

31.

А это и есть задачи на
нахождение наибольшего и
наименьшего значения функции.
Следует отметить, что
наибольшее и наименьшее
значение функции обычно
ищется на некотором
интервале X,

32.

который является или всей
областью определения функции
или частью области определения.
Сам интервал X может быть
отрезком [a; b], открытым
интервалом (a; b), [a; b), (a; b],

33.

бесконечным промежутком
(-∞; a), (-∞; a], (a; +∞), [a; +∞).
Следующие теоремы
значительно упрощают
процесс нахождения
наибольшего и наименьшего
значения функции.

34.

Теорема(Карл Вейерштрасс)
Если функция f (x )
непрерывна на отрезке [a; b],
то она достигает на нём своего
наибольшего и наименьшего
значения.

35.

Теорема. Наибольшего и
наименьшего значения
непрерывная функция f (x )
может достигать, как на
концах отрезка, так и внутри
него.

36.

Теорема. Если наибольшее
или наименьшее значение
достигается внутри отрезка, то
только в критических точках.
Алгоритм нахождения
наибольшего и наименьшего
значения функции на [a; b]

37.

1. Найти производную f (x );
2. Найти критические точки,
для этого решить уравнение
f ( x) 0 . Отбросить точки
не лежащие внутри заданного
отрезка, если такие есть.
3. Вычислить значения
функции в точках

38.

Отобранных на втором шаге и
на концах отрезка - в точках a
и b. Выбрать среди этих
значений наибольшее –
наиб
и наименьшее –
.
наим
f
f

39.

Пример.
Вычислить наибольшее и
наименьшее значение
функции
f ( x) x 3x 45x 1
3
2
на отрезке a) [-4; 6]; б) [0, 6]
в) [-2; 2].

40.

СПАСИБО ЗА
ВНИМАНИЕ!