Экстремум

1.

Математика
Преподаватели:
Кормилицына Елена Анатольевна,
Федотова Екатерина Алексеевна

2.

Тема 5.
Приложение
производной к
исследованию
функции

3.

План лекции
1.Монотоность функции.
2.Экстремум функции.

4.

Очень важную информацию о
поведении функции
предоставляют промежутки
возрастания и убывания. Их
нахождение является частью
процесса исследования функции
и построения графика.

5.

К тому же точкам экстремума,
в которых происходит смена с
возрастания на убывание или
с убывания на возрастание,
уделяется особое внимание
при нахождении наибольшего
и наименьшего значения
функции на некотором
интервале.

6.

1. Монотонность функции
Опр. Функция f (x )
называется возрастающей на
промежутке Х, если для
любого x1 , x2 X
таких, что 2
1
выполняется неравенство
x x
f ( x2 ) f ( x1 )

7.

Опр. Функция f (x )
называется убывающей на
промежутке Х, если для
любого 1 2
таких, что
2
1
выполняется неравенство
x ,x X
x x
f ( x2 ) f ( x1 )

8.

Опр. Функция f (x )
называется монотонной на
промежутке X, если на этом
промежутке она либо
возрастает, либо убывает, а
промежутки возрастания или
убывания называются
промежутками монотонности.

9.

Теорема(Необходимое условие
возрастания функции)
Если гладкая функция f (x )
на промежутке Х возрастает,
то её производная не может
быть отрицательной ни в
одной точке данного
промежутка, т.е f ( x) 0, x X .

10.

Теорема(Необходимое условие
убывания функции)
Если гладкая функция f (x )
на промежутке Х убывает,
то её производная не может
быть положительной ни в
одной точке данного
промежутка, т.е f ( x) 0, x X .

11.

Теорема(О монотонности)
f (x)
Пусть функция
гладкая
на промежутке X. Тогда
справедливы утверждения:
1. Если f ( x ) 0 для всех
x X , то функция f (x )
возрастает на Х.

12.

2. Если f ( x ) 0 для всех
x X , то функция
убывает на Х.
3. Если f ( x ) 0 для всех
x X , то функция
постоянна на Х.

13.

2. Экстремум функции
Опр. Точка x0 называется
точкой максимума функции
f (x), если у этой точки
существует окрестность, для
всех точек которой
выполняется неравенство
f ( x) f ( x0 )

14.

Опр. Точка x0 называется
точкой минимума функции
f (x), если у этой точки
существует окрестность, для
всех точек которой
выполняется неравенство
f ( x) f ( x0 )

15.

Обозначения:
Точка максимума –
max
Точка минимума –
min
Опр. Точки максимума и
минимума называют
экстремальными
точками(или точками
экстремума).
x
x

16.

Значение функции в
экстремальных точках
называют максимумом –
f ( xmax ) f max
и минимумом–
f ( xmin ) f min
или экстремумами функции.

17.

Опр. Точки, в которых
функция непрерывна, а её
производная либо равна нулю,
либо не существует,
называются критическими
точками.

18.

Теорема (Первое достаточное
условие экстремума).
Пусть функция f (x )
непрерывна и
дифференцируема в некоторой
окрестности точки x0 . Тогда
справедливы следующие
утверждения:

19.

1. Если при переходе через
точку
производная меняет
0
знак с + на − , то 0
точка максимума.
2. Если при переходе через
точку 0 производная меняет
знак с − на + , то 0
точка минимума.
x
x
x
x

20.

Алгоритм исследования
функции на монотонность и
экстремум
1. Находим область
определения функции D ( f );
2. Находим производную
функции f (x );

21.

3. Находим критические
точки, для этого решаем
уравнение f ( x ) 0;
4. Отметим критические
точки на области определения.
Находим знак производной на
каждом интервале. Находим
промежутки монотонности по
Теореме(О монотонности);

22.

5. Определяем точки
экстремума по
Теореме(Первое достаточное
условие экстремума);
6. Вычисляем экстремумы
функции.

23.

Пример
Исследовать функцию на
монотонность и экстремум
f ( x) x 6 x 9 x 1
3
2

24.

СПАСИБО ЗА
ВНИМАНИЕ!