Скалярное произведение векторов. Угол между векторами

1.

Скалярное
произведение векторов

2.

Угол между векторами
b
О
a
Угол между векторами
равен .
a b =
a
и
b

3.

Найдите угол между векторами
a b = 300
a
a c = 1200
d
300
c
b
f
b c = 900
d c = 1800
d f = 00

4.

Определение
Скалярным произведением двух
векторов называется произведение
их длин на косинус угла между ними.
a b = a b cos(a b )
Скалярное произведение векторов – число
(скаляр).

5.

Частный случай №1
b
a b = 900
a
a b =
=0
a b cos 900 = 0
Скалярное произведение ненулевых
векторов равно нулю тогда и только тогда,
когда эти векторы перпендикулярны.
a b = 0
a b

6.

Частный случай №2
a b < 900
b
a
a b =
>0
a b cos > 0
Скалярное произведение ненулевых векторов
положительно тогда и только тогда, когда угол
между векторами острый.
a b > 0 a b < 900

7.

Частный случай №3
b
a b > 900
a
a b =
<0
a b cos < 0
Скалярное произведение ненулевых векторов
отрицательно тогда и только тогда, когда угол
между векторами тупой.
a b < 0 a b > 900

8.

Частный случай №4
b
a b = 00
a
a b =
1
a b cos 00 = a b
b
a b = 1800
a
a b =
-1
a b cos1800 = – a b

9.

Частный случай №5
a a = 00
a
a a =
1
a a cos 00 = a a
Скалярное произведение
a a
скалярным квадратом вектора
=
a
называется
a
и обозначается
a
2
2
Таким образом,
скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.
a
2
=
a
2

10.

Задача
Все ребра тетраэдра АВСD равны друг другу. Точки М и
N – середины ребер АD и ВС. Докажите, что MN AD = 0
A
M
D
B
N
C

11.

Формула для нахождения скалярного произведения
через координаты векторов
a b= ?
a b = а1b1 + a2b2 + a3b3

12.

Пример №1
Найти скалярное произведение векторов:
a {-6; 9; 5}
b {-1; 0; 7}
a b= а1b1 + a2b2 + a3b3
a b= -6 (-1) + 9 0 + 5 7 = 41
Ответ: 41

13.

Пример №2
Найти скалярное произведение векторов:
a {0; 0; 4}
b {22; 1; 8}
a b= а1b1 + a2b2 + a3b3
a b= 0 22 + 0 1 + 4 8 = 32

14.

Пример №3
Найти скалярное произведение векторов:
a b = a b cos( a b)

15. Пример 4

16. Пример 5

17. Домашнее задание

п.36
скалярное произведение,
выучить формулы
№ 55(2,4), 56, 59.