Числовые последовательности. Пределы функций и последовательностей. Лекция № 3

1.

Лекция № 3
Числовые последовательности.
Пределы функций и
последовательностей.

2.

Содержание
• Геометрический смысл предела
последовательности
• Теорема Вейерштрасса
• Теорема о единственности предела
• Свойства пределов

3.

• О1 (последовательности). Пусть каждому натуральному числу
поставлено в соответствие действительное число: числу 1
соответствует число а1, числу 2 – а2, числу 3 – а3,……, числу n –
an и т.д. Тогда говорят, что задана числовая последовательность
и пишут:
• а1, а2, …..аn,…
• Иначе аn. числа а1, а2, …..аn,…называются членами числовой
последовательности:
• а1 – первый член,
• а2 – второй член,
• аn – n-й член.
• Рассмотрим предел числовой последовательности
• О2. Число b называется пределом последовательности (аn),
если какое бы положительное число ни взять (это число
обычно обозначают (эпсилон)) найдется номер N, начиная от
которого, (т.е. n N) отличие аn от b по модулю будет меньше ,
т.е. аn b .
• Пишут: lim аn = b или аn b аn сходится к b
• n ∞

4.

Геометрический смысл предела
последовательности
Неравенство аn - b равносильно двойному неравенству
Интервал (b - , b + ) называют -окрестностью точки b.
Если b – предел последовательности аn, то какую бы окрестность точки b не
выбрать, вся последовательность, начиная с некоторого номера N, будет
изображаться точками, лежащими в этой окрестности. Окрестность точки b
– это интервал с центром в точке b.
b-
b
b+
О3. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, а не
имеющая предел – расходящейся.
О4. Последовательность может иметь только один предел.
О5. Последовательность (аn) называется ограниченной, если существуют два
числа m и М такие, число для любого n выполняется неравенство
m a n M.
О6. Убывающие, возрастающие, неубывающие и невозрастающие
последовательности называется монотонными.

5.

Теорема Вейерштрасса
Если последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел.
Примеры: Рассмотрим последовательности:
1) 1, ½, 1/3, ¼, … , 1/n, … Чем больше номер члена последовательности, тем меньше этот член
отличается от нуля. Последовательность сходится, предел её равен 0., т.е. lim 1/n=0.
n ∞
2) ½, 2/3, ¾, 4/5, …, n/n+1,… Члены этой последовательности по мере увеличения номера всё меньше и
меньше отличаются от числа 1. Эта последовательность сходится причём lim n/n+1 .
n ∞
n
1
Действительно,
n
1 . Какое бы не взять , найдётся номер N такой, что для любого n N
выполняется неравенство
n/n+1 .
Чтобы найти такое N, достаточно решить неравенство n/n+1 , и взять в качестве N любое
натуральное число, удовлетворяющее этому неравенству.
т.е. n 1/ - 1, при =0,01. , n = 100, тогда х100 =
х100 - 1 = - 1 =
3) 2, 0, 3, 2, 03, 2,. 0, 3,… Эта последовательность не сходится, не имеет предела.
Для вычисления пределов последовательностей используют следующие утверждения:
а) Последовательность (1/n) сходится к числу 0 lim 1/n = 0
n ∞
n
б) Последовательность q , где q , сходится к числу 0. lim 1/n =0,
n ∞
q .
в) lim а = а
n ∞

6.

Пример.
Вычислить lim
n ∞
Сформулируем определение предела функции в точке.
О7. Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки a, кроме, быть может самой
точки а..
Число В называется пределом функции f(xn) в точке а (или при х а), если для любой
последовательности значений аргумента х п а, n N сходящейся к а, последовательность
соответствующих значений функции f(x), n N, сходится к числу В.
Пишут lim f(x) = B или f(x) B при x a
x a
короче B = lim f(x), если lim f(x) =B, для любой последовательности
x a
x ∞
х п а, n N, сходящейся к а
Если же для некоторой последовательности значений аргумента
х п а, n N, сходящейся к а, последовательность соответствующих значений функции f(xn), n N,
предела не имеет, то функция f(xn) не имеет предела в точке а.
Аналогично функция f(x) не имеет предела в точке а, если для двух различных
последовательностей значений аргумента, сходящихся к а, последовательности
соответствующих значений функции имеют различные пределы.
Из определения предела следует, что если f(x) a при x a, то f(x) –B 0 при x a. Введем
обозначение (х) =f(x) –B. Тогда f(x)=B + (x), где (x) 0 при x a. Очевидно, что число В
является пределом функции f(x) при f(x) х a, следовательно, когда f(x) можно представить в
виде f(x) = B + (x), где (х) 0 при x a.
Отметим, что точка а, в которой рассматривается предел функции f(x), а может и не
принадлежать. При нахождении предела функции в точке не рассматривается значение
функции в этой точке.

7.

Пример 1. Докажем, что предел постоянной функции равен этой же постоянной.
Решение. Пусть f(x) =С для всех х из некоторого интервала, содержащего точку а. Тогда для любой
последовательности хn такой, что хn a при х ∞, имеем f(xn) = C и
lim f(xn)=C
n ∞
Следовательно, lim f(x)= lim C=C
х a
х a
Пример 2. Докажем, что для f(x)=х lim f(xn) = lim x = а
х a
х a
Решение. Для любой хn такой, что хn a при х ∞ имеем
lim f(xn) = lim xn = а
n ∞
n ∞
Следовательно, согласно определению предела, lim x = а
х a

8.

Теорема о единственности
предела
Функция не может иметь двух разных пределов в точке.
Доказательство. Доказательство проведем методом от
противного. Пусть в точке х=а функция f(x) имеет два
различных предела А и В. Согласно определению предела,
для любой последовательности значений аргумента хn, n
N, такой, что хn а и lim xn = а
n ∞
имеем lim f(xn) =А, если lim f(xn) = В
n ∞
n ∞
В силу единственности предела последовательности, отсюда
получаем равенство А=В, которое протворечит
предположению. Следовательно, функция не может иметь
двух разных пределов в точке.

9.

Свойства пределов
Предел суммы (разности) функций равен сумме (разности) их пределов, если последние
существуют.
lim (f(x) g(x)) = lim f(x) lim g(x)
х a
х a
х a
Предел произведения функций равен произведению их пределов, если последние существуют.
lim (f(x) ∙ g(x)) = lim f(x) ∙ lim g(x)
х a
х a
х a
Постоянный множитель можно выносить за знак предела.
lim (с ∙ f(x)) = с ∙ lim f(x), если lim f(x) существует.
х a
х a
х a
Предел отношений двух функций равен отношению их пределов, если последние существуют и
предел делителя отличен от нуля
lim , если lim g(x) 0
Доказательство.
Пусть lim f(x) =А, и lim g(x) = В 0.
х 1
х a
Согласно определению предела функции в точке, для любой последовательности значений хn
аргумента такой, что хn а и lim хn = a, имеем
lim f(x) =А, и lim g(x) = В 0.
х a
х a
Используя последние равенства и теорему о пределе частного для сходящихся
последовательностей, получаем lim = , т.е.
lim , ч.т.д.

10.

Пример 3.
Найти lim (9х2 – 6х -8)
х 1
Решение. Применив свойства о пределе суммы, разности и произведения, получим.
Lim (9х2 – 6х -8) = lim (9х2) - lim (6х) + lim 8 = 9lim x2 – 6lim x + 8 = 9(limx)(limx)-6+ +8=11
х 1 х 1
х 1 х 1 х 1
х 1 х 1
Пример 4.
х2 5х 6
Найти lim
х 2
Решение. Здесь предел знаменателя равен нулю, поэтому воспользоваться теоремой о пределе частного нельзя. Разложим числитель на
множители х2 – 5х + 6 = (х-3)(х-2), так как при нахождении предела в точке 2 рассматриваются лишь х 2, и поэтому
2
lim х 5х 6 lim ( x 2)( x 3) lim ( x 3) 2 3 1
х 2
x 2
x 2
x 2
3x 3 2 x 2 x 3
lim
x3 4
x
Пример 5. Вычислить
Решение. Разделив числитель и знаменатель на х3 получим:
2 1
3
2 11
111
3 2 3
3
3
1
х х
х lim
x x x
x x x
lim ,
т.к. lim , 0 то воспользовавшись теоремами о пределе суммы произведения,
4
111
x x
1 2
1 4
вынесения постоянного множителя, о пределе частного, имеем
x x x
х
x
х
x 2
3 2 0 0 0
3
1 0
Выполнить задание:
lim(2x -7x+6)
x→3
lim(9x -6x+8)
x→1
lim(5x -3x+7)
x→1
lim
x→2
lim
x→ -2
lim(3x +2x +5)
x→∞
lim
x→∞