Разложение вектора на составляющие

1.

30.01.2024

2.

Можно ли для любой пары коллинеарных
Задача.
Данвекторов
параллелограмм
подобрать
ABCD
такое
с диагоналями
число, чтоAC
один
и BD,
из
пересекающимися
векторов будет вравен
точке
произведению
О, а также отрезки
второго
MP и NQ, соединяющие соответственно
вектора на это
середины
число?
сторон AB и CD, BC и AD. Требуется выразить:
1) вектор АС через вектор АО;
2) вектор NC через вектор ВС;
3) вектор NB через вектор AD;
4) вектор MP через вектор PO.
N
В
M
А
С
P
О
Q
D

3.

30.01.2024

4.

Лемма: Если векторы а и b коллинеарны
и а 0, то существует такое число k, что
b = ka
b
Доказательство:
b
1) a b . Возьмём число k
a
; т.к. k 0,
ka
a
то векторы
k a и b сонаправлены. Кроме
того их длины равны k a k a
b
a
Поэтому
b k a
a b.

5.

b
a
ka
b
2) a b .Возьмём число k
, т.к. k 0, то векторы
a
k a и b снова сонаправлены. Их длины также равны
ka k a
b
a
a b Поэтому b k a

6.

Задача.
Точки M и Q – середины сторон AB и AD
параллелограмма ABCD. Выразите:
1) вектор АС через АB и AD;
2) вектор АC через AM и AQ;
3) вектор BD через BM и CB;
4) вектор BC через BD и BM.
С
В
M
А
Q
D

7.

p = xa + yb,
где x и y – некоторые числа, то
говорят, что р разложен по
векторам а и b, х и у –
коэффициенты разложения.
Теорема: Любой вектор можно
разложить по двум данным
неколлинеарным векторам, причём
коэффициенты разложения
определяются единственным
образом.

8.

30.01.2024

9.

Доказательство: Пусть а и b –
неколлинеарные векторы.
Докажем , что любой вектор р можно
разложить по векторам а и b.
1. Пусть р коллинеарен b .
Тогда р = уb , где у – некоторое число
р = 0· а + у·b ,т.е. р разложен по
векторам а и b .

10.

Работа на уроке
Решить задачи № 911 (а, б), 912 (б, в), 915, 916 (а, б).

11.

Домашнее задание
Выучить материал п. 89, ответить на
вопросы 1 – 3, стр. 244.
Повторить главу 6, ответить на
вопросы стр. 133.
Решить задачи № 911 (в, г), 912 (ж, е, з),
916 (в, г), дополнительно № 514, 515.