Similar presentations:
Векторы в пространстве
1.
Тема : Векторы впространстве
2.
Понятие вектора в пространствеВсе, что изучили для вектора на плоскости
сохраняется, но добавляется третья координата
Вектор(направленный отрезок) –
отрезок, для которого указано какой из его
концов считается началом, а какой – концом.
В
А
AB
a
M
MM 0
Длина вектора AB – длина отрезка AB.
AB AB
0 0
3.
Коллинеарные векторыДва ненулевых вектора называются коллинеарными,
если они лежат на одной
прямой или параллельных прямых.
Среди коллинеарных различают:
Сонаправленные векторы
Противоположно направленные векторы
4.
Равные векторыРавные векторы - сонаправленные векторы,
длины которых равны.
a
a b a b, a b
b
От любой точки можно отложить вектор,
равный данному, и притом только один.
5.
Противоположные векторыПротивоположные векторы – противоположно
направленные векторы, длины которых равны.
a
a b a b, a b
b
Вектором, противоположным нулевому,
считается нулевой вектор.
6.
Признак коллинеарностиЕсли существует такое число k при котором
выполняется равенство a k b и при том
вектор b 0, то векторы a и b коллинеарн ы.
вектор k a b, если k 0
вектор k a b, если k 0
7.
Действия с векторамиСложение
Вычитание
Умножение вектора на число
8.
Сложение векторовПравило треугольника
Правило параллелограмма
Правило многоугольника
Правило параллелепипеда
9.
Правило треугольникаДля сложения двух векторов необходимо :
1. отложить от какой нибудь точки А вектор
AB, равный а
2. от точки В отложить вектор BC , равный b
3. вектор AC называется суммой векторов a и b
B
a
a
А
b
a b
b
C
10.
Правило треугольникаB
a
А
a b
b
C
Для любых трех точек А, В и С справедливо равенство:
AB BC AC
11.
Правило параллелограммаДля сложения двух векторов необходимо :
1. отложить от какой нибудь точки А
вектор AB, равный а
2. от точки А отложить вектор AC, равный b
3. достроить фигуру до параллелограмма , проведя
дополнительные линии параллельно данным
векторам
4. диагональ параллелограмма сумма векторов
B
a
a
b
А
с
b
с a b
C
12.
Правило многоугольникасумма векторов- вектор соединяющий
начало пути с его концом
Сумма векторов равна вектору, проведенному
из начала первого в конец последнего(при
последовательном откладывании).
a
B
b
C
A
a b c d e
e
c
E
d
Пример
D
AB BC CD DE AE
13.
ПримерB1
A1
C1
D1
B
A
C
D
AA1 D1C1 A1 D BA CB 0
14.
Правило параллелепипедаВектор, лежащий на диагонали параллелепипеда,
равен сумме векторов, проведенных из той же
точки и лежащих на трех измерениях
параллелепипеда.
B
A1
C1
1
d
AB b
D1
с bB
C
А
a
AD a
D
AC1 AD AB AA1
AA1 c
AC1 d
15.
СвойстваB1
A1
C1
d
D1
с aB
А
C
b
D
d a b c для любого параллелепипеда
d 2 a 2 b 2 c 2 для прямоуголь ного
параллелепипеда
16.
ВычитаниеРазностью векторов a и
b
называется такой
вектор, который находится
как сумма вектора a и вектора
противоположного вектору
b
17.
ВычитаниеДля вычитания одного вектора из другого необходимо :
1. отложить от какой нибудь точки А
вектор AB, равный а
2. от этой же точки А отложить вектор AC,
равный b
3. вектор CB называется разностью векторов a и b
B
a
b
Правило трех точек
a
a b
A
b
C
18.
Умножение вектора на числоПроизведением ненулевог о вектора a на число k
называется такой вектор b , длина которог о
равна к а , при чем векторы a и b сонаправле ны
при k 0 и противоположно направлены при k 0.
a
2a
b
1
b
3
19.
СвойстваДля любыхвект оровa и b и любых
чисел k, l справедливы равенст ва:
(kl)a k(la )
сочет ат ельный закон
k( a b ) k a k b
(k l)a k a l a
1 ый распределит ельный
закон
2 ой распределит ельный
закон
20.
Определение компланарныхвекторов
Компланарные векторы – векторы, при
откладывании которых от одной и той же точки
пространства, они будут лежать в одной
плоскости.
Пример:
B1
A1
C1
D1
B
А
C
D
BB1 , AC,AC 1 компланарн ы, т.к.
BB1 AA1 , а векторы AA1 , AC , AC1
лежат в плоскости (AA1C)
21.
О компланарных векторахЛюбые два вектора всегда компланарны.
α
a
b
a
b
a
b
a и b компланарн ы
Три вектора, среди которых имеются два
коллинеарных, компланарны.
a, b и c
компланарн ы
если
a, b, c
a kb
22.
Признак компланарностиЕсли вектор c можно разложить по векторам
а и b, т.е. представить в виде
с xa yb
где х и у некоторые числа, то векторы a, b
и c компланарн ы.
23.
Разложение вектораПо двум неколлинеарным векторам
По трем некомпланарным векторам
24.
Разложение вектора по двумнеколлинеарным векторам
Теорема.
Любой вектор можно разложить по двум
данным неколлинеарным векторам, причем
коэффициенты разложения определяются
единственным образом.
25.
Разложение вектора по тремнекомпланарным векторам
Если вектор p представлен в виде
p xa yb z c
где x, y, z – некоторые числа, то говорят, что вектор
p разложен по векторам a , b и c .
Числа x, y, z называются коэффициентами разложения.
Теорема
Любой вектор можно разложить по трем данным
некомпланарным векторам, причем коэффициенты
разложения определяются единственным образом.
26.
Рисунок к теоремеС
с
P
p
b
O
B
P2
P1
aA
Дано :
abc
некомпланр ные
векторы
p x a yb z c
27.
Базисные задачи28.
Вектор, проведенный в середину отрезка,равен полусумме векторов, проведенных из той же
точки в его концы.
С
A
B
O
1
1
1
OC ( OA OB ) OA OB
2
2
2
Доказательство
29.
ДоказательствоС
A
B
O
Доказательство :
OC OA AC
OC OB BC
Дано :
AB отрезок
AC CB
Доказать :
1
OC ( OA OB )
2
2OC OA AC OB BC OA OB (
AC
BC
)
o
2OC OA OB 2
1
OC ( OA OB ) ч.т.д.
2
30.
Вектор, соединяющий середины двухотрезков,
равен полусумме векторов, соединяющих их концы.
С
N
D
B
С
N
D
B
M
M
A
A
1
1
MN ( AD BC ) ( AC BD )
2
2
Доказательство
31.
Вектор, проведенный в точку пересечениядиагоналей параллелограмма,
равен одной четверти суммы векторов, проведенных
из этой точки в вершины параллелограмма.
O
C
B
M
A
D
1
OM ( OA OB OC OD )
4
Доказательство
32.
Задача. Сложение и вычитаниеУпростите выражения:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
CM MK
DM MA
SD ST
PL PK
AC BC PM AP BM
AD MP EK EP MD
Решение
33.
Решение(б, г, е- самостоятельно)а) CM MK CK
б) DM MA
в) SD ST SD TS TS SD TD
г) PL PK
д) AC BC PM AP BM
AC CB MP PA BM
AB MA BM AM MA 0
е)
AD MP EK EP MD