Дифференциальные уравнения

1.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ

2.

Дифференциальным уравнением (ДУ)
называется уравнение, связывающее
искомую функцию одной или нескольких
переменных и производные различных
порядков этой функции.

3.

Если искомая функция зависит от одной
переменной, то ДУ называется обыкновенным.
Если искомая функция зависит от нескольких
переменных, то ДУ называется уравнением
в частных производных.

4.

Простейшим примером ДУ является задача о
нахождении первообразной F(x) для заданной
функции f(x), т.к. ее можно рассматривать как
задачу решения уравнения:
F ( x) f ( x)

5.

В общем случае ДУ можно записать:
F ( x, y, y , y ,..., y ) 0
(n)
1
Порядок старшей производной, входящей
в ДУ, называется порядком ДУ.

6.

Например, дифференциальное уравнение
x ( y ) x ( y ) 8 0
2
4
5
является уравнением третьего порядка.
Решением ДУ (1) называется такая
функция y=y(x), которая при подстановке
ее в это уравнение обращает его
в тождество.

7.

Например,
уравнения
решением
дифференциального
y y 0
является функция
y sin x
поскольку
y cos x y sin x
Подставляем в уравнение:
sin x sin x 0

8.

Решить дифференциальное уравнение:
y x

9.

dy
y
x dy x dx
dx
Интегрируем почленно:
2
x
y
C1
2
- где С1 – произвольная постоянная.
2
dy x
y
C1
dx
2
x2
dy
C1 dx
2

10.

Еще раз интегрируем:
3
x
y
C1 x C2
6
Таким образом, решение ДУ принципиально
неоднозначно, поскольку в него входят
произвольные постоянные.

11.

ДУ задает семейство интегральных кривых на
плоскости.
Для
выделения
определенной
интегральной кривой достаточно задать точку,
через которую проходит искомая кривая и
направление, в котором она проходит через эту
точку. Такие условия называются начальными.
Например, если в рассмотренном примере
y (0) 1
y (0) 2
то
C1 2 C2 1

12.

Общим решением ДУ (1) называется решение
y=φ(x,C1,…,Cn)
которое является функцией переменной х и
произвольных независимых постоянных.
Частным решением ДУ (1) называется
решение, полученное из общего решения при
конкретных числовых значениях
постоянных.

13.

В рассмотренном примере
3
x
y
C1 x C2
6
- общее решение;
x3
y
2x 1
6
- частное решение.