Центр дистанционного обучения. Экзамен

1.

Центр дистанционного обучения
ЭКЗАМЕН 1
ФИО преподавателя:Головешкин Василий Адамович
e-mail: [email protected]
Online-edu.mirea.ru
online.mirea.ru

2.

Центр дистанционного обучения
Экзамен
1. Найти точки существования производной функции f z z 7 , и
вычислить в них f z .
1.Найти точки существования производной функции f z z Im z ,
и вычислить в них f z .
online.mirea.ru

3.

Центр дистанционного обучения
Экзамен
1.Найти точки существования производной функции f z z 7 , и
вычислить в них f z .
1.a.Найти точки существования производной функции
f z z Im z , и вычислить в них f z .
1. f z z 7 - аналитическая функция. f z 7 z 6 во всех точках
1.a.
f z z Im z x iy y xy iy 2
u xy; v y 2
Условия Коши-Римана
u
v
u v
u
v
u v
y;
2y
y 0
x;
0
x 0
x
y
x y
y
x
y x
Значит производная существует только в точке z 0
u v
f 0
i (при x 0; y 0) 0
x x
online.mirea.ru

4.

Центр дистанционного обучения
Экзамен
2.Может ли v x; y x 2 y 2 быть мнимой частью
аналитической функции f z . Если да, то найти
f z .
2.a.Может ли u x; y 2 xy 4 y быть
действительной частью аналитической функции
f z . Если да, то найти f z .
v
2v
v
2v
2v 2v
2 x; 2 2;
2 y; 2 2 2 2 4 0
2.
x
x
y
y
x y
Следовательно, не может
online.mirea.ru

5.

Центр дистанционного обучения
Экзамен
2.a.Может ли u x; y 2 xy 4 y быть
действительной частью аналитической функции
f z . Если да, то найти f z .
u
2u
u
2u
2v 2v
2 y; 2 0
2 x 4; 2 0 2 2 0
2.а.
x
x
y
y
x y
Следовательно, может
Первое условие Коши-Римана
u v
v
2 y v 2 ydy y 2 x
x y
y
Второе условие Коши-Римана
online.mirea.ru

6.

Центр дистанционного обучения
Экзамен
Второе условие Коши-Римана
u
v
y
x
d
u
v
2 x 4 x 2 x 4 x 2 4 x
dx
y
x
v y 2 x2 4x
w 2 xy 4 y i y 2 x 2 4 x
z z
z z
z z
4 i
w 2 xy 4 y i y 2 x 2 4 x 2
i
2
2
2
2
2
z z
2 z z
z z
4
i i
2
2 2
1
z2 z 2
1
2
2
2iz 2iz i z z z z 2 z z
w i
4
2
4
iz 2 4iz
online.mirea.ru

7.

Центр дистанционного обучения
Экзамен
3. Вычислить 3 z 2 4 z dz , где l – дуга линии y 2 x от точки
3
l
z1 0 до точки z2 1 2i .
3.a. Вычислить Re 3z 2 4 z dz , где l – дуга линии y 2 x от
3
l
точки z1 0 до точки z2 1 2i .
3. Функция аналитическая
1 2 i
3z 4 z dz 3z 4 z dz
2
2
l
z3 2z 2
0
1 2 i
0
1 2i 2 1 2i 11 2i 6 8i 17 2i
3
2
online.mirea.ru

8.

Центр дистанционного обучения
Экзамен
3.a. Вычислить Re 3z 2 4 z dz , где l – дуга линии y 2 x от
3
l
точки z1 0 до точки z2 1 2i .
3.a Функция не аналитическая
Re 3 z 2 4 z 3 x 2 y 2 4 x
Путь интегрирования зададим в параметрическом виде
x x
, где параметр x меняется от 0 до 1.
y 2 x3
Тогда y 2 x 3 ; dz dx idy 1 i 6 x 2 dx
Re 3z 4 z dz 3 x y 4 x dx idy
2
l
2
2
l
1
12
18
3 x 2 4 x 6 4 x 1 i6 x 2 dx x3 x 7 2 x 2 i x5 8 x9 6 x 4
7
5
0
0
9 8
2
l Re 3z 4 z dz 7 5 i
1
online.mirea.ru

9.

Центр дистанционного обучения
Экзамен
e2 z 1
4. Определить характер особой точки z 0 функции f z 2 .
z
z
Ряд Тейлора для функции f z e
1
1
1
1
1
e z 1 z z 2 z 3 z 4 z 5 ........... Тогда
1!
2!
3!
4!
5!
4
1
1
1
1
1
e2 z 1 2 z 4 4 z 8 8 z12 16 z16 32 z 20 ..........
1!
2!
3!
4!
5!
2 z4
e 1
Ряд Лорана для функции f z 2
z
1
1
1
1
1
1 2 z 4 4 z 8 8 z12 16 z16 32 z 20 .......... 1
2 z4
e 1
2!
3!
4!
5!
f z
1!
2
2
z
z
1
1
1
1
1
2 z 2 4 z 6 8 z10 16 z14 32 z18 ....
1!
2!
3!
4!
5!
4
Устранимая особая точка.
online.mirea.ru

10.

Центр дистанционного обучения
Экзамен
4.Определить характер особой точки z 0 функции
1 cos z 2
.
f z
z9
Ряд Тейлора для функции f z cos z
1 2 1 4 1 6 1 8 1 10
z z z z
z ........... Тогда
2!
4!
6!
8!
10!
1
1
1
1
1 20
cos z 2 1 z 4 z 8 z12 z16
z ..........
2!
4!
6!
8!
10!
1 cos z 2
Ряд Лорана для функции f z
z9
1 4 1 8 1 12 1 16 1 20
1
1
z z z z
z .....
2
1 cos z
4!
6!
8!
10!
2!
f z
9
9
z
z
1 1 11 1 3 1 7
z z .....
2! z 5 4! z 6!
8!
cos z 1
Полюс порядка 5.
online.mirea.ru

11.

Центр дистанционного обучения
Экзамен
1
3 z
4. Определить характер особой точки z 0 функции f z z e .
Ряд Тейлора для функции f z e z
1
1
1
1
1
z z 2 z 3 z 4 z 5 ........... Тогда
1!
2!
3!
4!
5!
1
11 1 1 1 1 1 1 1 1
ez 1
..........
1! z 2! z 2 3! z 3 4! z 4 5! z 5
ez 1
1
3 z
Ряд Лорана для функции f z z e
11 1 1 1 1 1 1 1 1
f z z e z 3 1
....
2
3
4
5
1! z 2! z 3! z 4! z 5! z
1
1
1 11 1 1
z3 z 2 z
...
1!
2!
3! 4! z 5! z 2
1
3 z
Существенно особая точка.
online.mirea.ru

12.

Центр дистанционного обучения
Экзамен
ez
5. Вычислить 2
dz , , где L : z 2 i 2 .
z 4z 8
Контур – окружность радиуса 2 с центром в точке z 2 i
Особые точки z 2 4 z 8 0; z 2 2i
В области лежит одна точка z 2 2i - полюс первого
Порядка.
ez
ez
z 2 4 z 8 dz 2 i zВыч
2 2 i z 2 4 z 8
ez
ez
2 i lim z 2 2i
2 i lim
z 2 2 i
z 2 2 i z 2 2i
z 2 2i z 2 2i
e
2 i
2 2 i
4i
cos 2 i sin 2 cos 2 i sin 2
2e 2
2e 2
2e 2
online.mirea.ru

13.

Центр дистанционного обучения
Экзамен
5.a. Вычислить
ez
z i
4
dz , , где L : z 3 .
Контур – окружность радиуса 3 с центром в точке z 0
Особые точки z i
В области лежит одна точка z i - полюс четвертого
порядка.
ez
ez
z i dz 2 i Выч z i
4
z i
4
1 d3
ez 1
d3 z
4
2 i lim
i lim 3 e
z i
4
z i 3! dz 3
z i 3 z i dz
1
1
1
1
1
i lim e z ie i i cos1 i sin1 sin1 i cos1
3 z i
3
3
3
3
online.mirea.ru

14.

Центр дистанционного обучения
Экзамен
6.Исследовать сходимость ряда an , где
n 1
3n n 2
an n .
5
Признак Даламбера
2
3n 1 n 1
2
2
n 1
n
n 1
n
1
3
5
3
1 3
5
lim
lim n n 1
lim 1 1
n
n 3
3n n 2
5
n2
5 n n 5
5n
ряд сходится.
6.a. Исследовать сходимость ряда an , где
n 1
5
n 1
n 1
5n 1
lim
lim
2
Признак Даламбера
ряд рассходится.
n
5n
an 2 .
n
5n n 2
n2
n
5n
n2
n 1
5lim
2
n
1
1
1
n
2
5 1
online.mirea.ru

15.

Центр дистанционного обучения
Экзамен
n5 3n 2 2
7. Исследовать сходимость ряда an , где an 3
.
2n 4n 5
n 1
n5 3n 2 2
an
2n 3 4n 5
n5
2n 3
n5
n3
1
n
Рассмотрим ряд bn , где bn
n 1
1
n 1 n
1
. Данный ряд рассходится
n
1
2
как ряд вида p , p 1
3 2
n5 3n 2 2
5
n
1
5
3
3
an
n
n
n 1 0
2
n
4
n
5
lim lim
lim
n b
n
n 1
1
4 5 2
n
n3 2 2 3
n
n
n
Следовательно оба ряда рассходятся
online.mirea.ru

16.

Центр дистанционного обучения
Экзамен
n10 2n5 1
7. Исследовать сходимость ряда an , где an 5
.
n
4
n
5
n 1
an
3
n 2n 1
n 5 4n 5
10
5
3
10
n
n5
10
3
n
n5
1
n
5
3
Рассмотрим ряд bn , где bn
n 1
1
n 1 n
3
1
n
5
3
. Данный ряд сходится как
5
3
ряд вида p , p 1
2
1
n10 2n5 1
5
3
n
1
3
5
a
n
n5 n10 1 0
lim n lim n 4n 5 lim
n b
n
n 1
1
4 5
n
n5 1 4 5
5
n
n
n3
3
10
Следовательно оба ряда сходятся
online.mirea.ru

17.

Центр дистанционного обучения
Экзамен
n 9 2n 5 1
7. Исследовать сходимость ряда an , где an 4
.
2
n
2
n
3
n 1
n9 2n5 1
an 4
n 2n 2 3
3
n9
n4
3
n3
n4
3
1
n
1
n
Рассмотрим ряд bn , где bn . Данный ряд расходится как
n 1
1
n 1 n
ряд вида p , p 1
2 1
n9 2n5 1
n3 1 4 9
4
2
a
n
n
n 1 0
lim n lim n 2n 3 lim
n b
n
n 1
1
2
3
n
n 4 1 2 4
n
n
n
3
Следовательно оба ряда расходятся
online.mirea.ru

18.

Центр дистанционного обучения
Экзамен
8. Найти область сходимости степенного ряда n3n ( x 1) n .
n 1 3 ( x 1)
un 1
lim
n u
n
n
3n ( x 1) n
n
n 1
lim
n 1
n 1
lim 3( x 1)
n
n 1 3 x 1 lim 1 1 3 x 1
n
n
n
1
2
4
1
При 3 x 3 1 сходится. x 1 x При 3 x 1 1 расходится. x 1
3
3
3
3
2
4
x , x - дополнительное исследование
3
3
3n
4
n
n
x n3 ( x 1) n n n lim n 0 расходится
n
3
3
n 1
n 1
n 1
n
3n 1
2
n
n
n
1 n
x n3 ( x 1) n
n
3
3
n 1
n 1
n 1
lim 1 n lim n 0 расходится.
n
n
n
2
4
2
4
x ; область сходимости x ;
3
3
3
3
1
Радиус сходимости R
3
Интервал сходимости
online.mirea.ru

19.

Центр дистанционного обучения
Экзамен
( x 1)3n
8.а. Найти область сходимости степенного ряда
.
n8n
n 1
( x 1)
3
3
n 1 8n 1
x 1
x 1
un 1
( x 1)3 n
1
lim
lim
lim
lim
3n
n u
n
n
n
1
(
x
1)
8
n
1
8
8
n
1
n
n8
n
3 n 1
x 1
x 1
При
1 сходится. x 1 2 1 x 3 При
1 расходится. x 1 2
8
8
x 1, x 3 - дополнительное исследование
( x 1)3n
1 23 n
1
x 3
Данный ряд расходится как ряд вида
n
n
n
8
n
8
n
n 1
n 1
n 1
1
, p 1
p
n 1 n
3n
n
3n
1
( x 1)3n
1 2 1
x 1
n8n
8n
n
n 1
n 1 n
n 1
Сходится по признаку Лейбница. Интервал сходимости 1 x 3 ; область
сходимости 1 x 3; Радиус сходимости R 2
online.mirea.ru
3
3

20.

Центр дистанционного обучения
Экзамен
( x 1) 2 n
8.б. Найти область сходимости степенного ряда 2 n .
n 9
n 1
( x 1)
2 n 1
n 1 9
u
lim n 1 lim
n u
n
( x 1) 2 n
n
n 2 9n
2
n 1
( x 1) 2 n
( x 1) 2
1
( x 1) 2
lim
lim
n
9 n 1
9 n 1 2
9
1
n
2
( x 1) 2
( x 1) 2
При
1 сходится. x 1 3 2 x 4 При
1 расходится. x 1 3
9
9
x 2, x 4 - дополнительное исследование.
( x 1) 2 n
1 32 n
1
x 4 2 n 2 n 2 Данный ряд сходится как ряд вида
n 9
9
n 1
n 1 n
n 1 n
( x 1) 2 n
1 3 1
1
1
p
2
x
2
,
.
Сходится как ряд
2 n
2
n
2
p
n
9
n
9
n
n
n 1
n 1
n 1
n 1
1
вида p , p 2. . Интервал сходимости 2 x 4 ; область сходимости
n 1 n
2 x 4 ; Радиус сходимости R 3
2n
2n
online.mirea.ru

21.

Центр дистанционного обучения
Экзамен
12 2n ( 1) n 1
9. Найти сумму ряда
.
n
3
n 1
12 2n 1 ( 1) n 2
n 1
an 1
2
3
Ряд – геометрическая прогрессия q
12 2n ( 1) n 1
an
3
3n
2
12 2 1
a
2
3
6
- константа. q 1 - сходится. s 1
1
1 q
3
1
3
online.mirea.ru

22.

Центр дистанционного обучения
Экзамен
14 2n
9. Найти сумму ряда n .
5
n 1
14 2n 1
n 1
an 1
2
5
Ряд – геометрическая прогрессия q
14 2n
an
5
5n
14 2
a
28
2
- константа. q 1 - сходится. s 1 5
1 q 1 2
3
5
5
online.mirea.ru

23.

Центр дистанционного обучения
Экзамен
Функцию f x , заданную на интервале 2; 2 соотношением
0 2 x 0
f x
, разложить в ряд Фурье, то есть представить в виде
x
0
x
2
a0
n x
n x
f x an cos
bn sin
.
2 n 1
l
l
Решение. l 2
a
n x
n x
f x 0 an cos
bn sin
2 n 1
2
2
l
2
0
2
1
1
1
1
2
a0 f x dx f x dx 0dx xdx x 2
l l
2 2
2 2
20
4 0
l
2
0
2
1
n x
1
n x
1
1
n x
an f x cos
dx f x cos
dx 0dx x cos
dx
l l
l
2 2
2
2 2
20
2
2
2 2
n x 1
n x
n x 1
2
n x
xd
sin
x
sin
sin
dx
2sin
n
0
cos
2 n 0
2
n
2 0 0
2
n
2 0
n
2
2
1
2
2
2
2
n
0
cos n
2 cos n 1 2 1 1
n
n
n n
n
online.mirea.ru

24.

Центр дистанционного обучения
Экзамен
Функцию f x , заданную на интервале 2; 2 соотношением
0 2 x 0
f x
, разложить в ряд Фурье, то есть представить в виде
x 0 x 2
a
n x
n x
f x 0 an cos
bn sin
. В ответ записать b5 .
2 n 1
l
l
l
2
0
2
1
n x
1
n x
1
1
n x
bn f x sin
dx f x sin
dx 0dx x sin
dx
l l
l
2 2
2
2 2
20
2
2
2
2
2
n x
1
n x
n x
xd
cos
x
cos
cos
dx
2 n 0
2
n
2 0 0
2
2
1
2
n x
1
2
2 cos n 0
sin
sin n
2 cos n
n
n
2 0
n
n
2
2
n 1
cos n 1
n
n
online.mirea.ru

25.

Центр дистанционного обучения
Экзамен
Разложить в ряд Фурье функцию f x x , заданную на отрезке 3;3
a0
n x
n x
bn sin
Функцию нужно представить в виде f x an cos
.
2 n 1
l
l
Решение. l 3
a
n x
n x
f x 0 an cos
bn sin
2 n 1
3
3
Так как функция нечетная, то
a0 0 ; an 0
l
3
3
1
n x
1
n x
2
n x
bn f x sin
dx f x sin
dx x sin
dx
l l
l
3 3
3
30
3
3
3
3
2 3
n x
2
n x
n x
xd
cos
x
cos
cos
dx
3 n 0
3
n
3 0 0
3
3
1
3
n x
1
3
3cos n 0
sin
sin n
3cos n
n
n
3 0
n
n
3
3
n 1
cos n 1
n
n
online.mirea.ru

26.

Центр дистанционного обучения
Спасибо за ваше
терпение!
online.mirea.ru