Анализ систем методами теории массового обслуживания

1.

Раздел 1.
Анализ систем методами теории
массового обслуживания
Тема 5.
Построение и исследование
марковских моделей СМО

2.

Вопрос 1.
Построение и исследование
модели одноканальной СМО
с отказами

3.

Из пройденного материала (тема 2) вспомним, что
СМО с отказами называют систему, в которой заявка
поступившая
в
момент,
когда
все
каналы
обслуживания заняты получает отказ и покидает
систему (пример: загруженная АТС).
Рассмотрим СМО с одним обслуживающим каналом,
на вход которой поступает простейший поток (что это
значит ?) заявок с интенсивностью λ.
Интервалы времени между заявками случайные,
распределены по показательному закону:
f t e
t

4.

Если заявка поступила в момент времени,
когда канал занят, она покидает систему
необслуженной.
Обслуживание заявки продолжается в
течение
случайного
времени
Тоб,
распределённого по показательному закону с
параметром μ:
f t e
t

5.

Требуется найти основные характеристики
эффективности работы такой СМО:
Абсолютную пропускную способность (А) среднее число заявок, обслуживаемых в
единицу времени.
Относительную пропускную способность
(Q) - среднюю долю заявок, обслуживаемых
системой, т. е. отношение среднего числа
заявок, обслуживаемых СМО в единицу
времени, к среднему числу поступающих за это
время заявок).

6.

Состояния СМО:
S0 – СМО свободна;
S1 – СМО занята обслуживанием заявки.
Граф состояний СМО:
λ
S0
μ
S1

7.

Система уравнений Колмогорова:
d P0
d t P1 P0
d P1 P P
0
1
d t
(1)
Учитывая, что в начальный момент времени р0(0)=1, а
р1(0)=0, систему уравнений можно решить в явном виде.
Поскольку р1 = 1 - р0 получим
dp0
1 p0 p0 p0 p0
dt
dp0
p0
dt
(2)
(3)

8.

Решая это дифференциальное уравнение методом
разделения переменных, получим
p0 t
ce t
(4)
где с – некоторая константа, определяемая
начальными условиями.
Положим t=0, тогда найдём значение константы из
(4), учитывая, что р0(0)=1.
С 1
(5)

9.

Подставим полученное значение С в формулу (3)
1
*t
p0 t
e
(6)
Зависимость р0(t) имеет вид представлен на графике
1
P0(t)
0
При
t
t=0
p0(0)=1,
при t
р0(t) =

10.

Зависимость p1(t) строится исходя из того, что
P1 = 1 - p0
1
0
р1(t)
р0(t)
t

11.

Величину p0(t) – (вероятность того, что СМО
свободно) можно трактовать как относительную
пропускную способность:
= p0(t) (7)
Тогда абсолютную пропускную способность можно
рассчитать
= p0(t) (8)
Вероятность отказа
рассчитывают как:
в
обслуживании
(9)
заявки

12.

Вопрос 2.
Построение и исследование
модели многоканальной СМО
с отказами

13.

1. Данная
СМО
имеет
n
каналов
обслуживания.
2.На вход поступает простейший поток заявок с
интенсивностью λ.
3. Интенсивность обслуживания заявки одним
каналом – μ.

14.

Состояния СМО:
S0 – все каналы СМО свободны;
Si – занято i каналов.
Граф состояний СМО:
λ
S0
μ
λ
S1
2μ
S2
λ
λ
3μ
nμ
Sn

15.

Система уравнений Колмогорова:
d P0
d t P1 P0
d P1
d t P0 P1 2 P2
d Pi P i P i 1 P
i 1
i
i 1
dt
d Pn
Pn 1 n Pn
dt

16.

Система уравнений для расчета ПВС
выглядит так (вывод можно найти в
учебниках):
P0 P1
P 2 P
2
1
P
(
i
1
)
P
i
i 1
Pn 1 n Pn

17.

Обозначим
- приведенная интенсив-
ность потока заявок.
Физический смысл данной величины –
среднее число заявок, приходящих в СМО за
время обслуживания одной заявки.
Формулы, выражающие предельные значения
всех состояний системы в зависимости от
величин интенсивностей потока заявок, потока
обслуживаний
и
количества
каналов
обслуживания названы формулами Эрланга.

18.

Значения ПВС (формулы Эрланга):
1
P1 P0 ;
Pi
i
P2
i
i!
P0 ;
;
n
2!
n
1
P0 1 ... ... ,
2!
i!
n!
i 0 i!
2
2
;
P0 ;
Pn
i
n
n!
P0 .

19.

Характеристики многоканальной СМО:
POTK Pn P0 ;
n!
n
Q 1 POTK 1 P0 ;
n!
n
A Q 1 P0 .
n!
n

20.

Среднее число занятых каналов:
n
A
k 1 P0 .
n!
Второй способ расчета
n
k:
k mPm .
m 1