Функции y = tgx и y = ctgx, их свойства и графики

1.

Функции y = tgx и
y = ctgx,
их свойства и
графики

2.

Определение
Тангенсом угла α называют число, равное
отношению sin α к cos α, обозначают tg α, т. е.
sin
tg
cos
2
k , k Z
Тангенс определён для всех углов α, кроме тех,
для которых косинус равен нулю
Для любого угла α ≠ π/2 + πk, kЄZ существует, и притом
единственный tg α

3.

Ось тангенсов
tg
tg
2
120°
3
3
4
+∞
y
3
3
1
tg 45 1
tg120 3
4
1
6
0
180°
tg180 0
tg90 не существует
Тангенс может
принимать любые
значения от – ∞ до + ∞
3
3
1
x
6
- 45° 3
3
3
4
1
2
3
х=1
–∞

4.

Определение
Котангенсом угла α называют число, равное
отношению cos α к sin α, обозначают сtg α, т. е.
cos
сtg
sin
k , k Z
Котангенс определён для всех углов α, кроме тех,
для которых синус равен нулю
Для любого угла α ≠ πk, kЄZ существует, и притом
единственный сtg α

5.

Y
Ось котангенсов
сtg
сtg
3
4
–∞
1
3
3
1
3
3
0
120°
180°
3
3
3
+∞
1
у=1
4
0°
сtg 45 1
45°
3
сtg120 3
сtg180 Не существует
Котангенс может
принимать любые
значения от – ∞ до + ∞
X
сtg ( 90 ) 0

6.

Построение графика функции y = tg x,
если х Є [ ̶ π ∕2; π ∕2 ]
y
у = tg x
1
2
0
-1
2
x
х
у=tg x
0
0
±π ∕6
≈ ± 0,6
±π ∕4
±1
±π ∕3
≈ ±1,7
±π ∕2
Не
существ.

7. Построение графика функции y = tg x.

y
у=tg x
1
x
0
2
3
2
2
-1
2
3
2
2

8. Свойства функции y=tg x.

y
у=tg x
1
0
2
3
2
2
1
2
3
2
x
2
Нули функции: tg х = 0 при х = πn, nєZ
у>0 при хє (0; π/2) и при сдвиге на πn,nєZ.
у<0 при хє (-π/2; 0) и при сдвиге на πn, nєZ.

9. Свойства функции y=tg x.

у=tg x
2
3
2
2
y
Асимптоты
1
0
x
-1
2
3
2
2
При х = π ∕ 2+πn, nєZ - функция у=tgx не определена.
Точки х = π ∕ 2+πn, nєZ – точки разрыва функции.

10. Запишите все свойства функции y = tg x.

1. Область определения:
2. Множество значений функции:
3. Периодическая, Т=
4. Нечётная функция
5. Возрастает на всей области определения.
6. Нули функции у = 0 при х =
7. у > 0 при хє и при сдвиге на
8. у < 0 при хє и при сдвиге на
9. При х = - функция у = tgx не определена.
Имеет точки разрыва графика

11.

у
1
х
- 2
- 3
2
y = tgx + a
-
-
2
0
-1
y = tgx
2
3
2
y = tgx – b
2

12.

у
1
х
- 2
- 3
2
-
y = tgx
-
2
0
-1
2
y = tg(x – a)
3
2
2

13.

у
1
х
- 2
- 3
2
-
y = tgx
-
2
0
-1
2
y = ItgxI
3
2
2

14. Свойства функции y = ctgx

1. D(f) = R, кроме

15.

2. y = ctgx – периодическая с основным
периодом : ctg(x - ) = ctgx = ctg(x + )
3. y = ctgx – нечетная функция: ctg(-x)=-ctgx

16.

4. y = ctgx – убывает на интервале
5. y = ctgx – не ограничена ни сверху, ни
снизу
6. y = ctgx – не имеет наибольшего и
наименьшего значения
7. y = ctgx – непрерывна на интервале
8. E(y) = (- ;+ )

17. Задача №1.

Найти все корни уравнения tgx = 1,
принадлежащих промежутку –π ≤ х ≤ 3π ∕ 2.
Решение.
1. Построим графики
у=tg x
y
у=1
−π
1
х1
0
1
х2
π
функций у=tgx и у=1
2. х1= − 3π∕4
х2= π∕4
x
х3= 5π∕4
х3 3π/2

18.

Задача №2.
Найти все решения неравенства tgx < − 1,
принадлежащие промежутку –π ≤ х ≤ 2π .
1. Построим графики функций у = tgx и у = −1
у=tg x
y
−π/4
( //////
2
1
3π/4
0
//////
-1 2
7π/4 x
)
3 ////////
2
2
2. хϵ(−π/2; −π∕4); хϵ(π/2; 3π∕4); хϵ(3π/2; 7π∕4)
у = −1