Простейшие тригонометрические уравнения (sin t = a, cos t = a)

1.

Простейшие
тригонометрические
уравнения (sin t = a, cos t = a).

2.

Арксинус.
у
π/2
1
а
-а
Примеры:
-1
– π/2
Арксинусом числа а называется
такое число (угол) t из
arcsin а =t
[-π/2;π/2], что sin t = а.
Причём, | а | ≤ 1.
х
arcsin(- а)
arcsin(- а)= – arcsin а

3.

Арккосинус.
Арккосинусом числа а называется
arccos а = t
такое число (угол) t из [0;π], что
cos t = а.
Причём, | а |≤ 1.
0 х
у
arccos(-а)
π/2
π
-1
-а
Примеры:
а
1
arccos(- а) = π – arccos а
1) arccos(-1)
2) arccos√3/2
=π

4.

Графическое решение уравнения sin t = а.
y = sin t и y = a.
Рассмотрим случай когда | а | 1:
1) y = sin t и y = a, а 1. Решений нет.
y
1) y = a, а 1
t
-2π
-3π/2
-π
-π/2
π/2
π
3π/2
2π
2) y = a, а – 1
2) y = sin t и y = a, а – 1. Решений нет.

5.

Графическое решение уравнения sin t = а.
y = sin t и у = а
Рассмотрим случай когда | а | 1:
t = arcsin a + 2πk, k Z
y
y = a, | а | 1
t
х1
-2π
-3π/2
-π
-π/2
х2
π/2
arcsin a
π
3π/2
π-arcsin a
t = π – arcsin a + 2πk, k Z
х1+2π
2π
х2+2π

6.

Решение уравнения sin t = а.
1) sin t = а , где | а | 1
!
не имеет решений
2) sin t = а , где | а | ≤ 1
или

7.

sin t = а
Частные случаи
1) sin t = 0,
t = 0 + πk‚ k Є Z
1
0
0
-1
2) sin t = 1,
t = π/2+2πk‚
π/2
kЄZ
3) sin t = – 1,
tt == -π/2
-π/2 + 2πk‚k Є Z

8.

Решение уравнения sin t = а.
1) sin t = а , где | а | 1
не имеет решений
2) sin t = а , где | а | ≤ 1
или
Частные случаи
1) sin t = 0,
t = 0 + πk‚ k Є Z
2) sin t = 1,
t = π/2+2πk‚ k Є Z
3) sin t = – 1,
t= -π/2 + 2πk‚k Є Z
Решение упражнений.

9.

Графическое решение уравнения cos t = а.
y = cos t и у = а
Рассмотрим случай когда | а | 1:
1) y = cos t и y = a, а 1. Решений нет.
y
1) y = a, а 1
t
-2π
-3π/2
-π
-π/2
π/2
π
3π/2
2π
2) y = a, а – 1
2) y = cos t и y = a, а – 1.
Решений нет.

10.

Графическое решение уравнения cos t = а.
y = cos t и у = а.
Рассмотрим случай когда | а | 1:
t = – arccos a + 2πk, k Z
y
y = a, | а | 1
t
х1
-2π
-3π/2
-π
-π/2
х2
π/2
-arccos a
arccos a
t = arccos a + 2πk, k Z
π
х1+2π
х2+2π
3π/2
2π

11.

Решение уравнения cos t = а.
1) cos t = а , где | а | 1
!
не имеет решений
2) cos t = а , где | а | ≤ 1
или

12.

cos t = а
Частные случаи
1) cos t = 0,
t = π/2+πk‚
π/2
kЄZ
0
-1
1
0
2) cos t = 1,
t = 0 + 2πk‚ k Є Z
3) cos t = – 1,
t = π + 2πk‚ k Є Z

13.

Решение уравнения cos t = а.
1) cos t = а , где | а | 1
Частные случаи
не имеет решений
1) cos t = 0,
t = π/2+πk‚ k Є Z
2) cos t = а , где | а | ≤ 1
или
2) cos t = 1,
t = 0 + 2πk‚ k Є Z
3) cos t = – 1,
t = π + 2πk‚ k Є Z
Решение упражнений.