Решение квадратичных неравенств (метод парабол)

1.

(метод парабол)

2.

Найди решение
f(x)>0, запиши ответ
у
проверка
2
0
3
х
далее
X (1;5)

3.

f(x)<0
у
4
0
2
проверка
х
далее
X (-∞;-2)U(2;+∞)

4.

f(x)>0
у
0
-2
2
х
проверка
Решений нет
далее

5.

f(x)>0
у
проверка
X (-∞;+∞)
1
0 1
х
далее

6.

f(x)<0
у
проверка
Решений нет
2
0
2
х
далее

7.

f(x)<0
у
-3 0
х
-7
проверка
X (-∞;-3)U(-3;+∞)
проверить тест
далее

8.

Квадратичные неравенства
Неравенство вида
ах²+bх+с<0 (ах²+bх+с≤0, ах²+bх+с>0, ах²+bх+с≥0), где
а, b, с-любые числа, а≠0, называется квадратичным.
Например: а) 2х²≥0
б) -4х²+8<0
в) 2х-х²≤0
г) 14х+5>3х²

9.

Чтобы решить квадратичное
неравенство методом
парабол, надо:
Рассмотреть функцию у=ах²+bх +с,
определить направление ветвей;
2. Найти нули функции, решив
квадратное уравнение ах²+bх+с=0;
3. Схематически построить параболу,
учитывая направление ветвей и точки
пересечения с осью х;
4. Учитывая знак неравенства, выбрать
нужные промежутки и записать ответ.
1.

10.

5x²+9x-2 <
<0
Рассмотрим функцию y=5x²+9x-2
Графиком является парабола, ветви вверх (а=5, а>0).
Нули функции:
5x²+9x-2=0
X1=-2; X2=0,2
y<0 при x (-2;0,2)
Ответ: (-2;0,2)
-2
0,2
X

11.

3x²-11x-4 > 0
<
Рассмотрим функцию y=3x²-11x-4
Графиком является парабола, ветви вверх (а=3, а>0).
Нули функции:
3x²-11x-4=0
X1=-1/3; X2=4
y>0 при x (-∞; -1/3)U(4; +∞)
Ответ: (-∞; -1/3)U(4; +∞)
-1/3
4
X

12.

-1/4x²+2x-4<0
<
Рассмотрим функцию y=-1/4x²+2x-4
Графиком является парабола, ветви вниз (а=-1/4, а<0).
Нули функции:
-1/4x²+2x-4=0
X1,2=4
y<0 при x (-∞; 4)U(4; +∞)
Ответ: (-∞; 4)U(4; +∞)
4
X

13.

x²-3x+4 > 0
<
Рассмотрим функцию y=x²-3x+4
Графиком является парабола, ветви вверх (а=1, а>0).
Нули функции:
x²-3x+4=0
D<0; действительных корней нет
График функции с осью ox
не пересекается
y>0 при x (-∞; +∞)
Ответ: (-∞; +∞)
X

14.

Подведём итоги урока
Решение неравенства ах²+bх+с>0, используя график
квадратичной функции
D>0
D=0
D<0
a>0
X
x1
x1=x2
x2 X
–любое число,
x (-∞;x1)U(x2; +∞) xкроме
x1
a<0
x1
x2
x1=x2
X
x (-x1;x2)
x –любое число
X
X
X
Решений нет
Решений нет

15.

Домашнее задание

16.

17.

Решить неравенства:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
8x2 - 6x + 1 > 0
8x2 - 6x + 1 < 0
x2 – 16 > 0
x2 – 16 < 0
x2 - 4x + 4> 0
x2 - 4x + 4 < 0
x2 - 4x > 0
x2 - 4x < 0

18.

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА
1.
2.
3.
4.
5.
Вариант 1
Вариант 2
Решите неравенство:
х² - 3х + 2 < 0
- х² > 4х
-2х² + х + 1 < 0
4х² - 4х + 1 < 0
100 > х²
Решите неравенство:
х² + 5х - 6 > 0
2х < - х²
-х² - 2х + 3 > 0
3х² - х + 2 < 0
- х² < 1
1.
2.
3.
4.
5.

19.

Найди решение
f(x) ≥ 0, запиши ответ
у
проверка
2
0
3
х
далее
X [1;5]

20.

f(x) ≤ 0
у
4
0
2
проверка
х
далее
X (-∞;-2]U[2;+∞)

21.

f(x) ≥ 0
у
0
-2
2
х
проверка
Х=2
далее

22.

f(x) ≥ 0
у
проверка
X (-∞;+∞)
1
0 1
х
далее

23.

f(x) ≤ 0
у
проверка
Х=2
2
0
2
х
далее

24.

f(x) ≤ 0
у
-3 0
х
-7
проверка
X (-∞;+∞)
проверить тест
далее