Решение задач с помощью систем уравнений с двумя переменными. Урок 1

1. Тема урока:

Решение задач с помощью систем
уравнений с двумя переменными (урок 1)

2.

«Чтобы решить задачу,
надо, по крайней мере,
прочитать ее условие»
Жак Адамар
(фр. математик)

3. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см. Найдите его катеты, если известно, что один из них на 7 см больше другого.

1 способ – уравнением (с помощью одной переменной).
Пусть один катет прямоугольного треугольника равен х см, а второй
катет – х+7 см. Используя теорему Пифагора, составим уравнение:
х²+(х+7)²=13²
х²+х²+14х+49-169=0
2х²+14х-120=0
х²+7х-60=0
D=49-4·1·(-60)=289
х1=-12 - не удовлетворяет условию х>0,
х2= 5 (см) – один катет, тогда х + 7 = 5 + 7 = 12 см – второй катет
Ответ: 5 см, 12 см.

4. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см. Найдите его катеты, если известно, что один из них на 7 см больше другого.

,
,
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13
см. Найдите его катеты, если известно, что один из них
на 7 см больше другого.
2 способ – системой уравнений (с помощью введения двух переменных).
Пусть первый катет х см, второй катет у см (х>0, у>0). Тогда
2у²+14у-120=0
у²+ 7у - 60=0
у1 =5, у2= -12 (не удовл. условию)
Если у = 5 см – один катет, то х = 7+5 = 12 см – другой катет
Ответ: 5 см, 12 см.

5.

При решении задач с помощью системы уравнений
можно придерживаться следующего алгоритма:
1.Внимательно изучить условие задачи;
2.Обозначить буквами искомые величины;
3.Выразить искомые величины через данные;
4.Составить уравнения и из них соответствующую
систему;
5.Найти решения системы;
6.Проверить, какие из решений системы
удовлетворяют условиям задачи.

6.

Основные типы задач, которые можно решить с
помощью систем уравнений
1. Задачи на совместную работу
2. Задачи, в которых используется формула
двузначного числа
3. Задачи на смеси, сплавы, растворы
4. Задачи на движение

7. Алгоритм решения задач на совместную работу.

Принимаем всю работу, которую необходимо выполнить
за 1, а время выполнения работы каждым в отдельности
за х и у.
Находим производительность труда каждого рабочего в
отдельности, т.е.работу, выполняемую за единицу
времени.
Находим ту часть всей работы, которую выполняет
каждый рабочий отдельно за время их совместной
работы.
Составляем уравнение, приравнивая объем всей работы
к сумме слагаемых, каждое из которых есть часть всей
работы, выполненная отдельно каждым из рабочих.

8. Задача №1

Один комбайнер может убрать урожай
пшеницы с участка на 24 ч быстрее, чем
другой. При совместной работе они
закончат уборку урожая за 35 часов.
Сколько времени потребуется каждому
комбайнеру, чтобы одному убрать
урожай?

9. Один комбайнер может убрать урожай пшеницы с участка на 24 ч быстрее, чем другой. При совместной работе они закончат уборку

урожая за 35 часов. Сколько времени потребуется каждому
комбайнеру, чтобы одному убрать урожай?
Производительность
работа
время
1. Всю работу примем за 1
Обозначим за х ч – время выполнения всей работы 1 комбайнером,
у ч – время выполнения всей работы 2 комбайнером
1
производительность 1 комбайнера
х
2. 1
производительность 2 комбайнера
у
35
работы сделает 1 комбайнер за 35ч
3. х
35
работы сделает 2 комбайнер за 35ч
у

10. Составим систему:

Один комбайнер может убрать урожай пшеницы с участка на 24 ч
быстрее, чем другой. При совместной работе они закончат уборку
урожая за 35 часов. Сколько времени потребуется каждому
комбайнеру, чтобы одному убрать урожай?
Составим систему:
35 35
1
y
x
х y 24

11. Задача №1.1

Две бригады, работая совместно, могут
выполнить некоторое задание за 3 ч 36
мин. Сколько времени затратит на
выполнение этого задания каждая бригада,
работая в отдельности, если известно, что
первой бригаде требуется для этого на 3
часа больше времени, чем второй.

12. Алгоритм решения задач, в которых используется формула двузначного числа.

Вводится обозначение:
х – цифра десятков
у – цифра единиц
Искомое двузначное число 10х + у
Составить систему уравнений

13. Задача №2

Двузначное число в четыре раза
больше суммы его цифр. Если к
этому числу прибавить
произведение его цифр, то
получится 32. Найдите это
двузначное число.

14. Двузначное число в четыре раза больше суммы его цифр. Если к этому числу прибавить произведение его цифр, то получится 32.

Найдите это двузначное число.
Пусть х – цифра десятков, у – цифра единиц.
Тогда 10х + у – искомое число. Составим систему:
10 х у 4( х у )
10
х
у
ху
32

15.

Задача №2.1
Двузначное число в трое
больше суммы его цифр.
Если из этого числа вычесть
произведение его цифр, то
получится 13. Найдите это
двузначное число.

16. Алгоритм решения задач на смеси

х – масса первого раствора, у – масса
второго раствора, (х + у ) – масса
полученной смеси.
Найти содержание растворенного вещества
в растворах, т.е.
а % от х, в % от у, с % от (х+у)
Составить систему уравнений.

17.

Задача №3
Смешали 30%-ный раствор соляной
кислоты с 10%-ным и получили 600г 15%ого раствора. Сколько граммов каждого
раствора было взято?
1. Введем обозначение.
Пусть х г – масса первого раствора,
у г – масса второго раствора,
тогда масса смеси – (х+у) г.
2. Определим количество растворенного вещества в
первом, втором, третьем растворах, т.е. найдем 30%
от х, 10% от у, 15% от 600.

18.

Смешали 30%-ный раствор соляной кислоты с 10%-ным и
получили 600г 15%-ого раствора. Сколько граммов каждого
раствора было взято?
Составим систему уравнений:
х у 600
0
,
3
х
0
,
1
у
0
,
15
600

19. Задача №3.1

Имеется лом стали двух сортов с
содержанием никеля 5% и 40%.
Сколько нужно взять металла
каждого их этих сортов, чтобы
получить 140 т стали с
содержанием 30% никеля?

20.

Составьте систему уравнений и решите задачу:
Одна из дорожных бригад может
заасфальтировать некоторый участок дороги на
4 ч быстрее, чем вторая. За сколько часов
может заасфальтировать этот участок каждая
из бригад, работая отдельно, если известно,
что за 24 ч совместной работы они
заасфальтировали 5 таких участков?

21.

Домашнее задание
1.Решить №37, 38, 39
2.Выучить алгоритмы
по каждому типу задач

22.

Мне все понятно
Мне что-то понятно, а
что-то еще нет
Мне почти все пока не
понятно
Мне не понятно ничего

23. Тема урока:

Решение задач с помощью систем
уравнений с двумя переменными (урок 2)

24.

«Чем невозможнее
кажется задача,
тем интереснее её
решать»
Этель Лилиан Войнич
англ. , америк. писательница,
автор романа «Овод»

25.

Проверка
домашнего
задания

26. Устная работа

Первая труба наполняет резервуар на
6 минут дольше, чем вторая. Обе
трубы наполняют этот же резервуар за
4 минуты. За сколько минут
наполняет этот резервуар одна вторая
труба?

27. Устная работа

Два мастера, работая вместе,
могут выполнить заказ за 6 ч.
Если
первый
мастер
будет
работать 9 ч, а потом его сменит
второй, то он закончит работу
через 4 ч. За сколько времени
может выполнить заказ каждый
из мастеров, работая отдельно?

28.

Устная работа
Имеется два сплава. Первый
содержит 15% никеля, второй —
40% никеля. Из этих двух сплавов
получили третий сплав массой 200
кг, содержащий 28% никеля. Какую
массу имеет второй сплав?

29. Задача на движение

За 7 часов катер прошел 60 км по течению
реки и 64 км против течения реки. На
следующий день катер за 7 часов прошел 80
км по течению реки и 48 км против течения.
Найдите собственную скорость катера и
скорость течения реки.

30.

Задача на совместную работу
Один насос может наполнить бассейн на 24 часа
быстрее, чем другой. Через 8 часов после того, как был
включен второй насос, включили первый, и через 20
часов совместной работы оказалось, что заполнено 2/3
бассейна. За сколько часов может наполнить бассейн
каждый насос, работая самостоятельно?

31.

Диагностический
тест

32. Домашнее задание

№41, 58, задача №22 (ОГЭ)
№22 (ОГЭ)
Первый сплав содержит 5% меди, второй — 13%
меди. Масса второго сплава больше массы первого на
4 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 10% меди. Найдите массу третьего сплава.

33.

Мне все понятно
Мне что-то понятно, а
что-то еще нет
Мне почти все пока не
понятно
Мне не понятно ничего

34. Тема урока:

Решение задач с помощью систем
уравнений с двумя переменными (урок 3)

35.

«Недостаточно лишь понять
задачу, необходимо желание
решить её. Без сильного
желания решить задачу
невозможно. Где есть
желание, найдётся путь!»
Дьердь Пойа
(америк. математик)

36.

Проверка
домашнего
задания

37.

Проверка домашнего задания
Что
Номер задачи обозначено за
хиу
№41
№58
№22
(ОГЭ)
Как выражаются
остальные
неизвестные
через х и у
Составлены в
соответствии с
условия
задачи системы
уравнений
Искомое
значение
неизвестной
величины

38.

Анализ
результатов
диагностического
теста

39. Основные типы задач, решаемые с помощью систем

40. Две трубы, работая совместно, наполняют бассейн за 4 часа. Первая труба в отдельности может наполнить его на 6 часов  быстрее,

Две трубы, работая совместно, наполняют бассейн за 4
часа. Первая труба в отдельности может наполнить его на 6
часов быстрее, чем вторая. За сколько часов заполняет
бассейн первая труба?
1. Принимаем всю работу, которую
необходимо выполнить за 1, а время
выполнения работы каждым в
отдельности за х и у.
2. Находим производительность
труда каждого в отдельности
3. Находим ту часть всей работы,
которую выполняет каждый
отдельно за время их совместной
работы.
4. Составляем уравнение,
приравнивая объем всей работы к
сумме слагаемых, каждое из которых
есть часть всей работы, выполненная
отдельно каждым.
1.
2.
3.
4.

41.

Найди двузначное число, которое в 4 раза больше
суммы своих цифр и 3 раза больше их произведения.
1. Введем обозначение: 1.
х–
у–
2. Запишем формулу
2.
двузначного числа
3. Составим систему
уравнений
3.

42. Сколько нужно взять 10% и 30% растворов марганцовки, чтобы получить 200 г 16% раствора марганцовки?

1.
Обозначим
х–
у–
х+у–
2. Найдем содержание
растворенного вещества в
растворах, сплавах
а % от х, в % от у, с % от (х+у)
3. Составим систему
уравнений.
1.
2.
3.

43.

44. Составьте системы уравнений по условию задачи

Имеется руда из двух
пластов с содержанием
меди 6% и 11%. Сколько
надо взять «бедной»
руды,
чтобы
при
смешивании с «богатой»
получить 20 т руды с
содержанием меди 8%?
Расстояние
между
городами
564
км.
Навстречу друг другу из
городов
одновременно
вышли
поезда
и
встретились
через
6
часов. Скорость одного
поезда на 10 км больше
скорости другого. Чему
равна скорость каждого
поезда?

45. Составьте системы уравнений по условию задачи

Один экскаватор может
вырыть котлован на 10 ч
быстрее, чем другой.
После того как первый
экскаватор проработал 10
ч, его сменил второй
экскаватор и закончил
работу за 15 ч. За сколько
часов могли бы вырыть
котлован оба экскаватора,
работая одновременно?
Если двузначное число
разделить на сумму его
цифр, то получится в
частном 4 и в остатке 3.
Если же это число
разделить на
произведение его цифр,
то получится в частном 3
и в остатке 5. Найти это
число.

46.

Самостоятельная
работа

47.

Домашнее задание
1.Решить № 50,51,52
2.Повторить алгоритмы
по каждому типу задач

48.

Мне все понятно
Мне что-то понятно, а
что-то еще нет
Мне почти все пока не
понятно
Мне не понятно ничего

49. Тема урока:

Решение задач с помощью систем
уравнений с двумя переменными (урок 4)

50.

«Если
вы
хотите
научиться плавать, то
смело входите в воду, а если
хотите научиться решать
задачи, то решайте их»
Дьердь Пойа
(америк. математик)

51.

Проверка
домашнего
задания

52.

Проверка домашнего задания
Что
Номер задачи обозначено за
хиу
№40
№51
№52
Как выражаются
остальные
неизвестные
через х и у
Составлены в
соответствии с
условия
задачи системы
уравнений
Искомое
значение
неизвестной
величины

53.

Заполните пропуски в системах уравнений:
1. Два комбайна, работая вместе, могут выполнить
задание за 6 часов. Первый комбайн, работая один,
выполняет задание на 5 часов дольше, чем второй
комбайн. За сколько времени может выполнить
задание первый комбайн, работая один?
Пусть х ч. – _________________
у ч. – _________________
Составим систему уравнений:

54.

Заполните пропуски в системах уравнений:
2. Сумма квадратов цифр двузначного числа
равна 13. Если от этого числа отнять 9, то
получим число, записанное теми же цифрами,
но в обратном порядке. Найдите число.
Пусть х – _________________
у – _________________
Составим систему уравнений:

55.

Заполните пропуски в системах уравнений:
3. Имеется два сплава. Первый содержит 5%
никеля, второй - 20% никеля. Из этих двух сплавов
получили третий сплав массой 150 кг, содержащий
15% никеля. На сколько килограммов масса первого
сплава была меньше массы второго?
Пусть х кг – _________________
у кг– _________________
х+у
кг
_________________
Составим систему уравнений:
-

56.

Составьте систему уравнений к задаче:
Мастер и ученик должны были выполнить некоторое
задание. После четырех дней совместной работы
ученик был переведен в другой цех, и, чтобы
закончить выполнение задания, мастеру пришлось
еще 2 дня работать одному. За сколько дней мог бы
выполнить каждый из них это задание, если известно,
что мастеру для этого требуется на 3 дня меньше, чем
ученику?

57.

Составьте систему уравнений к задаче:
Две машинистки получили рукопись для
перепечатки. Известно, что второй машинистке
потребовалось бы на перепечатку всей
рукописи на 3 дня больше, чем первой. За
какое время смогла бы перепечатать всю
рукопись каждая машинистка, если вторая
работала 6 дней, а первая – на 4 дня больше?

58.

Разноуровневая
самостоятельная
работа

59.

Домашнее задание
Решить № 54(1),48(2)
Подготовка к
контрольной работе