Применение квадратичных форм к исследованию кривых и поверхностей второго порядка. Тема 17

1.

§17. Применение
квадратичных форм к
исследованию кривых и
поверхностей второго
порядка

2.

Пусть кривая второго порядка задана
уравнением
2
2
a11 x 2 a12 xy a 22 y bx cy f 0.
Рассмотрим квадратичную форму
L ( x , y ) a11 x 2 2 a12 xy a 22 y 2 .
Канонический вид
L ( x ', y ') 1 x ' 2 y ' .
2
2

3.

Если
1 2 0,
то кривая имеет эллиптический вид;
если
1 2 0,
то кривая имеет гиперболический вид;
если
1 2 0,
то кривая имеет параболический вид.

4.

Пример. Определить вид кривой
2 x 2 xy 2 y 1 0.
Решение. Составим матрицу
2 1
.
1 2
2
Так как
1 2
2
2 1
3 0,
1 2
то кривая имеет эллиптический вид.

5.

Пример. Привести к каноническому виду
уравнение кривой
2
2
5 x 4 xy 8 y 8 x 14 y 5 0
Сделать рисунок.
Решение. Обозначим
L ( x , y ) 5 x 2 4 xy 8 y 2 .
Матрица этой квадратичной формы имеет вид
5 2
.
2 8
Составим характеристическое уравнение
5
2
2
8
13 36 0.
2

6.

Собственные числа:
1 4, 2 9.
Найдем собственные векторы.
1 4.
x1 2 x2 0,
x1 2 x2 .
2 x1 4 x2 0,
Пусть
x2 t ,
тогда
x1 2t.

7.

Поэтому
2t 2
x
t, t R, t 0
t 1
— собственные векторы, соответствующие
собственному числу 1 4.
1
Нормируем эти векторы:
| x1 | ( 2) 2 12 5;
2
5
.
x1 '
1
5

8.

2 9.
4 x1 2 x2 0,
x2 2 x1.
2 x1 x2 0,
Пусть
x1 t ,
тогда
Поэтому
x 2 2t .
t 1
x t, t R, t 0
2t 2
— собственные векторы, соответствующие
собственному числу 2 9.
2

9.

Нормируем эти векторы:
| x 2 | 12 2 2 5;
1
5
.
x2 '
2
5

10.

Матрица преобразования координат (матрица
поворота):
2
5
T
1
5
1
5
.
2
5
Формулы преобразования осей координат
2
1
x
x
'
y
',
5
5
y 1 x ' 2 y '.
5
5

11.

Подставив в уравнение данной кривой
выражения для x и y
2
2
1
1
2 1
2
2
2
1
5
x '
y ' 4
x '
y '
x '
y ' 8
x '
y '
5
5 5
5 5
5
5
5
1
2
2
1
8
x '
y ' 14
x '
y ' 5 0.
5
5
5
5
Так как с помощью указанного преобразования
координат квадратичная форма приводится к
каноническому виду, то получим
2
36
4x ' 9 y '
x '
y ' 5 0.
5
5
2
2

12.

Выделим полные квадраты
2
1
1 1
1 1
2
2
4x '
x ' 4 x '
x ' 4 x ' 2x '
2 2 5 80 80
5
2 5
2
1
1
1
1
4 x '
4 x '
;
80
20
4
5
4
5
2
2
36
1 4 4 4
2 4
2
9y'
y ' 9 y '
y ' 9 y ' 2 y '
2 5 5 5
5
5
2
2
2
2 4
2 36
9 y '
9 y '
.
5
5
5
5

13.

Подставим
2
2
1
2
1 36
4 x '
9 y '
20 5 5 0;
4 5
5
2
2
1
2 9
4 x '
9 y '
4.
4 5
5
Выполним параллельный перенос по
формулам
1
x ' x " 4 5 ,
y ' y " 2 .
5

14.

Окончательно получим
9
4x" 9 y " ;
4
x "2 y "2
1
9
1
16
4
2
2
— эллипс с полуосями
3
1
a , b .
4
2

15.

y
y'
x'
y"
1
1
x
4 5
1
y
x
x"
2
5

16.

Замечание.
В результате приведения к каноническому
виду возможны следующие случаи:
2
2
2
2
x
y
2 1 — эллипс;
2
a
b
x
y
2 1 — нет точек (мнимый эллипс);
2
a
b
x2 y2
2 0 — одна точка;
2
a
b

17.

x2 y2
2 1 — гипербола с действительной
2
a
b
осью Ox;
x2 y2
2 1 — гипербола с действительной
2
a
b
осью Oy;
2
2
x
y
2 0 — пара пересекающихся прямых;
2
a
b

18.

y 2 px — парабола (любые варианты);
2
y2 a2
— пара параллельных прямых;
y 2 a 2 — нет точек (пара мнимых
параллельных прямых);
y 0
2
— одна прямая.