Построение сечений тетраэдра и параллелепипеда

1. ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЙ ТЕТРАЭДРА И ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА

2. Определения

Секущая плоскость тетраэдра
(параллелепипеда) - любая плоскость, по обе
стороны от которой имеются точки данного
тетраэдра (параллелепипеда).
Сечение тетраэдра (параллелепипеда) -
многоугольник, сторонами которого являются
отрезки, по которым секущая плоскость
пересекает грани.

3. Сечения тетраэдра

Т.к. тетраэдр имеет четыре грани, то его
сечениями могут быть только
треугольники
четырёхугольники.

4. Сечения параллелепипеда

Параллелепипед имеет шесть граней.
Его сечениями могут быть
треугольники, четырёхугольники (рис. а),
пятиугольники (рис.б),
шестиугольники (рис. в).
а)
С
в)
б)
В
E
С
G
F
А
D
В
В
E
D
С
D
E
А
F
А

5. Сечения параллелепипеда

На
рисунке
б)
секущая
плоскость
пересекает
две
противоположные
грани
(переднюю и заднюю) по
отрезкам AB и CD, а две другие
противоположные грани (левую
и правую) - по отрезкам DE и
BC,
AB || CD и AE || BC.
б)
С
D
В
E
А

6. Сечения параллелепипеда

AB || ED,
AF || CD,
BC || EF.
в)
D
С
E
В
F
А

7. Построение сечений

Строим точки пересечения секущей плоскости с рёбрами тетраэдра
(параллелепипеда).
Провести прямые, соединяющие каждые две построенные точки,
лежащие в одной и той же плоскости-грани.
Ищем прямые пересечения плоскости сечения с гранями
многогранника, для этого:
1. Ищем точки пересечения прямой, принадлежащей плоскости
сечения с прямой, принадлежащей одной из граней (лежащие в
одной плоскости);
2. Параллельные
грани плоскость сечения пересекает по
параллельным прямым.

8. Сечения тетраэдра

Задача 1.
На ребрах AB, BD и CD
тетраэдра
ABCD
отмечены точки M, N
и
P.
Построить
сечение
тетраэдра
плоскостью MNP.
D
N
P
С
В
M
А

9. Сечения тетраэдра

Пусть MNP ∩ ABC = a
M є a (т.к. лежит в обеих
плоскостях)
ВС є BDC NP є BDC
1) Пусть BC ∩ NP = E
E є a (т.к. лежит в
обеих плоскостях)
ME = a
ME ∩ AC = Q
MNPQ - сечение
D
N
P
E
В
С
Q
M
А

10. Сечения тетраэдра

2) BC || NP
ML || NP
ML ∩ AC = Q
MNPQ - сечение
D
P
N
С
В
L
Q
M
А

11. Сечения тетраэдра

Задача 2.
Точка М лежит на
боковой
грани
ADB
тетраэдра
DABC.
Построить
сечение
тетраэдра плоскостью,
проходящей через точку
М параллельно грани
ABC.
D
M
С
В
А

12. Сечения тетраэдра

Построим прямую a так
что M є a
a ∩ DC = P, a ∩ DA = Q
Построим прямую b так
что P є b
b ∩ DB = R
Треугольник PQR искомое сечение.
D
P
С
R
M
Q
А
b
В
a

13. Постройте сечения тетраэдра

14. Постройте сечения

D1
D1
C1
C1
M
N
A1
A1
B1
M
B1
C
D
C
D
K
A
B
A
B

15. Постройте сечение

Построение:
1) MN
2) NK
3) MP ||NK
4) KH ||MN
5) PH
6) MNKHP - искомое
сечение
D1
C1
N
A1
B1
K
C
D
M
H
B
A
P

16. Постройте сечение

Построение:
1) MN, NK
2) MN∩AD=X
3) XY ||NK
4) XY∩AB=P
5) XY∩BC=Q
6) MP, PQ
7) QH ||MN
8) KH
9) MNKHQP - искомое
сечение
K
D1
C1
N
H
A1
B1
M
C
D
A
X
Q
P B
Y