Математическое моделирование. Информатика

1.

Математическое
моделирование.

2.

МК
Ключевые слова
• математическая модель
• хорошо поставленные задачи
• существенные данные
• тестирование модели
• компьютерная модель
• эксперимент
• анализ результатов моделирования

3.

МК
Этап постановки задачи — самый важный при
моделировании.
Если здесь допущена ошибка, то фактически решается совсем не та
задача, которую нужно решить, и после завершения моделирования всё
придётся начать заново.
Для того чтобы задачу можно было решить, она должна быть хорошо
поставлена (корректна). Это значит, что:
• заданы все связи между исходными данными и результатом;
• известны все исходные данные;
• решение существует;
• решение единственно.

4.

МК
Приведём примеры плохо поставленных
(некорректных) задач.
Задача 1. Уроки в школе начинаются в 8-30. В 10-00 к школе подъехал
красный автомобиль. Определите, когда Шурик выйдет играть в
футбол.
Задача 2. Мальчик Вася в синей кепке бросает белый мяч со
скоростью 12 м/с. Через какое время мяч впервые ударится о земную
поверхность?
Задача 3. Решите уравнение sinx = 4.
Задача 4. Найдите функцию, график которой проходит через точки (0,
0) и (1, 1).
Для каждой из этих задач определите, почему их нельзя считать
хорошо поставленными.

5.

МК
Разработка математической модели
На этапе разработки математической модели
нужно:
1) выделить исходные данные, существенные для
решения данной задачи;
2) построить математическую модель,
отражающую только существенные свойства
оригинала.
Какие данные в формулировке задачи 2, на ваш
взгляд, существенные, а какие — нет?
Введём некоторые допущения:
• мяч — материальная точка (его размеры малы в
сравнении с высотой полета);
• сопротивление воздуха не учитывается.
При решении задачи могут использоваться
несколько моделей разных типов. Например, для
лучшею понимания полезно построить
графическую модель задачи (рис. 1).
рис. 1

6.

МК
За начало координат удобно принять точку, отсуда вылетает мяч. Обозначим
через и v0 начальную скорость мяча, через h0 — начальную высоту мяча h0 =
1,5 м) — это исходные данные. Нужный результат — это время полёта мяча tn
Графическая модель не даёт ответа на поставленный вопрос, а только
позволяет лучше понять задачу. Поэтому для численных расчётов нужно
построить математическую модель — связать с помощью законов физики
известные данные и результат.
Координата y при движении тела, брошенного вертикально вверх,
вычисляется по формуле:
где g ? 9,81 м/с2 — ускорение свободного падения. Эта формула и
представляет собой математическую модель задачи. В ней нет упоминания о
Васе, мяче, и т. п., есть только условные обозначения. Мы выполнили
формализацию — построили формальную модель на языке математических
формул.
По условию задачи нужно найти время tn, при котором мяч упадёт на земную
поверхность. Запишите условие «мяч упадёт на землю» в виде формулы и
затем запишите уравнение, которое нужно решить.

7.

МК
Тестирование модели
Тестирование — это проверка модели на наборе исходных данных с
известным результатом.
Изучите программу и ответьте на вопросы.
— Что обозначают переменные а, b, с, D, t1 и t2?
— Какое из двух решений квадратного уравнения нужно выбрать?
— Какой результат возвращает стандартная функция sqrt?
— Может ли случиться так, что уравнение не будет иметь вещественных
корней?
— Как изменить начальную высоту шарика и начальную скорость?

8.

МК
Эксперимент с моделью
Эксперимент — это испытание модели в тех условиях, которые нас
интересуют (результатов мы заранее не знаем). Например, для модели
накопления денег в банке задаётся ненулевая ставка (процент ежегодного
увеличения); движение судна моделируется с учётом случайных помех —
морского волнения и ветра и т. п.
Анализ результатов
Во-первых, нужно убедиться, что результаты моделирования не
противоречат известным из теории фактам, например не нарушаются
законы сохранения вещества и энергии.
Например, если оказалось, что при наличии трения объект движется
быстрее, чем без трения, то модель, скорее всего, ошибочна.
Во-вторых, необходимо проверить результаты моделирования на реальном
объекте — провести эксперимент с оригиналом. Если нам удалось решить
поставленную задачу (поведение оригинала соответствует 1) поведению
модели), можно считать модель адекватной и работу законченной.

9.

МК
Самостоятельная работа
Интеллект-карта (по-английски — mind map) —это визуальное
представление информации, отражающее системные связи между целым
и его частями.
Нарисуйте в тетради интеллект-карту по данной презентации.
Пример: